Mengen berechnen

23.09.2017, 12:56	noAhnung	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen berechnen Meine Frage: Hallo, in einem meiner Aufgabenhefte habe ich folgende Aufgabe gefunden: Seien A, B und C drei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass $\begin{eqnarray} P(A) = 0.6 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} P(A \cap B \cap C) = 0.3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P((A \cup B) \backslash C) = 0.7 \end{eqnarray}$ . a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(B \backslash A) \end{eqnarray}$ ? Begründen Sie Ihre Behauptung? b) Geben Sie möglichst scharfe untere und obere Schranken für die Wahrscheinlichkeit P(C) an, wenn nun $\begin{eqnarray} P((A \cup B) \backslash C) =<br /> 0.6 \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Ich komme einfach nicht auf (a). Ich habe inzwischen fast alles versucht. Ich könnte $\begin{eqnarray} P(B \backslash A) = P(B) - P(A \cap B) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} P(B \backslash A) = P(B) - P(A \cap B \cap \overline{C})- P(A \cap B \cap C) \end{eqnarray}$ berechnen. Aber egal, was ich auch rechne, ich scheine weder an die Werte der einen noch der anderen Rechnung zu kommen. Ich wäre so dankbar für Hilfe!
25.09.2017, 10:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Möglichkeit der systematischen Herangehensweise: Man betrachtet die Zerlegung von $\begin{align} \Omega \end{align}$ in die $\begin{align} 2^3=8 \end{align}$ disjunkte Basisereignisse $\begin{align} A\cap B\cap C, A\cap B\cap\bar{C},\ldots,\bar{A}\cap \bar{B}\cap\bar{C} \end{align}$ (wem es hilft, der darf sich auch gern das passende Venn-Diagramm dazu zeichnen). Die drei in der Aufgabenstellung angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind dann als Summen von einem oder mehreren der Wahrscheinlichkeiten dieser 8 Basisereignisse darstellbar. Außerdem wissen wir, dass diese 8 Wahrscheinlichkeiten alle nichtnegativ sind und in der Summe 1 ergeben müssen. Da ermöglicht dann die Lösung a) $\begin{align} P(B\setminus A) = 0.4 \end{align}$ , b) $\begin{align} 0.3\leq P(B\setminus A) \leq 0.4 \end{align}$ . ------------------------------------------------------- Wie sieht sie nun hier aus, diese systematische Vorgehensweise: Sei $\begin{align} p_0 &= P(A\cap B\cap C)<br /> p_1 &= P(A\cap B\cap \bar{C})<br /> p_2 &= P(A\cap \bar{B}\cap C)<br /> p_3 &= P(A\cap \bar{B}\cap \bar{C})<br /> p_4 &= P(\bar{A}\cap B\cap C)<br /> p_5 &= P(\bar{A}\cap B\cap \bar{C})<br /> p_6 &= P(\bar{A}\cap \bar{B}\cap C)<br /> p_7 &= P(\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C}) \end{align}$ , wobei wir für die vorliegende Aufgabe auch $\begin{align} p_{13} &= p_1+p_3 = P(A\cap \bar{C})<br /> p_{67} &= p_6+p_7 = P(\bar{A}\cap \bar{B}) \end{align}$ zusammenfassen können (ist nicht wirklich nötig). Dann können wir aus den Angaben der Aufgabenstellung das GLS $\begin{align} p_0+p_{13}+p_2 &= 0.6\qquad (1)<br /> p_0 &= 0.3\qquad (2)<br /> p_{13}+p_5 &= q\qquad (3)<br /> p_0+p_{13}+p_2+p_4+p_5+p_{67} &= 1\qquad (4) \end{align}$ aufstellen, und zwar mit $\begin{align} q=0.7 \end{align}$ in a) und $\begin{align} q=0.6 \end{align}$ in b). Gesucht ist $\begin{align} r:=p_4+p_5 \end{align}$ . (1)-(2) sowie (4)-(1) ergeben $\begin{align} p_{13}+p_2 &= 0.3\qquad (5)<br /> p_4+p_5+p_{67} &= 0.4\qquad (6) \end{align}$ Zunächst stellen wir fest, dass wegen (6) auf jeden Fall $\begin{align} r\leq 0.4 \end{align}$ gilt. Aus (5) folgt $\begin{align} p_{13}\leq 0.3 \end{align}$ und damit aus (3) dann $\begin{align} r\geq p_5\geq q-0.3 \end{align}$ , insgesamt also $\begin{align} q-0.3\leq r\leq 0.4 \end{align}$ . Im Fall $\begin{align} 0.4\leq q\leq 0.7 \end{align}$ sind dann auch tatsächlich alle Werte $\begin{align} r\in [q-0.3,0.4] \end{align}$ denkbar: Man betrachte einfach $\begin{align} p_0=0.3,p_{13}=q-r,p_2=0.3-q+r,p_4=0,p_5=r,p_{67}=0.4-r \end{align}$ , dann ist das GLS erfüllt! In a) bedeutet das $\begin{align} r=0.4 \end{align}$ , und in b) dann $\begin{align} r\in[0.3,0.4] \end{align}$ . Nachtrag: Ein weiterer sehr, sehr stiller Gast...

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