Dreiecke optimieren

23.09.2017, 16:03	pauly1992	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreicke Optimieren Hallo, ich brauch wirklich dringend Hilfe bei einer Aufgabe, bei der ich ziemlich unsicher bin, ob ich sie richtig angehe. Mein Ansatz: Ich definiere mir ein $\begin{eqnarray} Q(a) = \frac{F^2}{U^4 } = \frac{\frac{g^2}{4}(a^2 -\frac{(g^2}{4}) }{g+2a)^4}<br /> \end{eqnarray}$ Nun suche ich nach Extrema: Q'(a)= 0 Sei g ein Parameter. für die Ableitung erhalte ich dann: $\begin{eqnarray} Q'(a) = \frac{-g^2a^2+\frac{g^3a}{2} +\frac{g^4}{2} }{g+2a)^5} <br /> \end{eqnarray}$ mit p-q Formel erhalte ich für a1=1 und (a2=-12) interessiert nicht, da negative Längen nicht existieren. Das gleiche mache ich nun für g: g1=a (g3=0) nicht interessant, da für g=0 wir kein gleichschenkliges Dreieck erzeugen können und (g3=-a/2) analog wie oben So aus diesen Berechnung folgt: a=1 und g=a=1. Jetzt prüfe ich, ob ich für g=a=1 ein Maximum habe. $\begin{eqnarray} Q(a,g) = q(1,1) = \frac{3}{16 3^4} \end{eqnarray}$ Grenzbetrachtung: $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty } Q(a) = 0 = \lim_{g \to \infty } Q(g) \end{eqnarray}$ Fazit: für a=g=1 haben wir ein Maximum ( maximalen Quotienten) Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
24.09.2017, 00:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zu maximierende Funktion hängt zunächst gleichzeitig von den zwei Variablen $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ab. Daher sind Extremwerte mittels Nullsetzen der partiellen Ableitungen (nach a und g) aufzufinden. Dabei ergibt sich beide Male $\begin{eqnarray} a - g = 0 \end{eqnarray}$ ------------------ Sehe ich mir nun deine Rechnung an, ist das Resultat $\begin{eqnarray} a = g \end{eqnarray}$ korrekt. Darauf kommt man (OHNE g = 1 zu setzen!) durch Nullsetzen beider partiellen Ableitungen. Dass ein Maximum vorliegt, folgt daraus, dass die zweiten Ableitungen für a = g negativ sind. mY+
24.09.2017, 11:18	pauly1992	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreicke Optimieren Danke für die Antwort. Muss man wirklich einmal nach a und dann einmal nach g ableiten? Das ist eine Klausuraufgabe und diese Ableitung sind schon aufwendig. Dazu auch noch die zweite Ableitung bilden. Das nimmt ja doch schon viel Zeit für so eine Funktion. Wenn ich die partielle Ableitung einmal nach a mache, erhalte ich als Nullstelle a=g. Macht es das, dann nicht überflüssig nochmal nach g abzuleiten?
24.09.2017, 11:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreicke Optimieren $\begin{eqnarray} Q(a) = \frac{F^2}{U^4 } = \frac{\frac{g^2}{4}(a^2 -\frac{g^2}{4}) }{g+2a)^4}<br /> \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} a^2 - \frac { g^2 } 4 = \frac 1 4 ( g - 2a) ( g + 2a) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} Q(a) = \frac { g^2 ( g - 2a) } { 16 (g + 2a)^3} \end{eqnarray}$ . Kürzt man nun mit $\begin{eqnarray} g^3 \end{eqnarray}$ , so erhält man $\begin{eqnarray} Q(a) = \frac { ( 1 - 2\frac { a} g ) } { 16 (1 + 2\frac a g)^3} \end{eqnarray}$ . Damit hält der Wert nur vom Quotienten $\begin{eqnarray} a/g \end{eqnarray}$ ab. Man kann also im Quotienten optimieren, was der Hinweis auch aussagt. D.h. $\begin{eqnarray} \tilde Q(s) = \frac { 1 - 2s} { 16 ( 1 + 2s)^3} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ optimieren, was das gleiche ist wie den ursprünglichen Quotienten mit $\begin{eqnarray} g = 1 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray*}$ zu optimieren.

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