Primitivwurzel

23.09.2017, 16:01	gordongecko	Auf diesen Beitrag antworten »
Primitivwurzel Meine Frage: 1.Berechnen Sie,sofern es möglich ist,Primitivwurzeln zu a)2197 . b)256. Meine Ideen: Sei $\begin{eqnarray} m\in \mathbb N. \end{eqnarray}$ Eine Primitivwurzel modulo $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ existiert genau dann,wenn $\begin{eqnarray} m=1,2,4,p^r \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 2p^r \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} r \ge 1,p \in \mathbb P,p>2 \end{eqnarray}$ a) primfaktorzerlung von $\begin{eqnarray} 2197 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 2197=13^3 \end{eqnarray}$ Das heißt es existiert eine primitiv Wurzel ,da $\begin{eqnarray} p^r \end{eqnarray}$ in unserem Fall $\begin{eqnarray} 13^3 \end{eqnarray}$ ist. ich hab das element $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ als primitiv wurzeln gefunden , da $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/13\mathbb Z) \end{eqnarray}$ erzeugt Ein satz aus dem Skript sagt jetzt ,dass $\begin{eqnarray} a mod 13^3 \end{eqnarray}$ ist eine primitiv wurzel genau dann ,wenn $\begin{eqnarray} a mod 13 \end{eqnarray}$ primtiv wurzel und es gilt $\begin{eqnarray} a^{13-1} \not \equiv 1 mod(13^2) \end{eqnarray}$ In meinem Fall heißt das . 2 mod 13 ist, da ich mit 2^n mod 13 alle elemente aus $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/13\mathbb Z) \end{eqnarray}$ erzeugen kann, für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2^{12} \equiv 40 mod 13^2 \end{eqnarray}$ . Darum ist $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ primtiv wurzel. b) 256 = 2^8 ,deshalb gibt es laut obiger def keine Primroot. kann ich das so machen?

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