Basis

24.09.2017, 16:24

Physikstudi

Basis

Hallo!

Meine Aufgabe lautet:

Sei n eine natürliche Zahl größer-gleich 2. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} (1,1,...,1), (1,2,...,1), ..., (1,1,1,...,n) \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist.

Ich kann das nicht ganz interpretieren. Die "Pünktchen" sollen beliebige reelle Zahlen sein? Also der 1. Vektor, wenn n = 5 ist, könnte lauten: $\begin{eqnarray*} (1,1,3,8,1) \end{eqnarray*}$ ? Und wenn n = 2 ist? Was mache ich dann aus dem Vektor $\begin{eqnarray*} (1,2,...,1) \end{eqnarray*}$ ? Wie beweise ich das allgemein für n? Mittels Induktion?

24.09.2017, 16:36

Helferlein

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Wie kommst Du auf diesen komischen Vektor?
In der Aufgabe ist der k-te Vektor derjenige, der überall eine 1 als Eintrag hat, außer an der k-ten Stelle. Dort steht der Wert k.
Demnach wäre z.B. $\begin{eqnarray*} v_5=(1,1,1,1,5,1,1,...)\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} v_3=(1,1,3,1,1...)\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

24.09.2017, 17:05

Phystikstudi

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Okay, so ist das also gemeint.

Ich habe eine allgemeinere Frage, um mit meiner Aufgabe fortzufahren. Wenn ich 2 Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ habe, die linear unabhängig sind, dann heißt das doch nicht automatisch, dass sie auch den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ aufspannen?

In einem anderen Forum wird das so impliziert: matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=93306

Da wollte der Fragesteller nämlich zeigen, dass die 2 Vektoren ein Erzeugendensystem sind und das sie linear unabhängig sind. So verstehe ich das auch. Ihm wurde allerdings geantwortet, er müsse das mit dem Erzeugendensystem gar nicht mehr zeigen, da die Dimension vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 = 2 \end{eqnarray*}$ und seine spezifischen 2 Vektoren sind linear unabhängig, daher haben sie ebenfalls die Dimension 2.

Das stimmt doch so nicht? Dimension ist doch per Definition die Anzahl der linear unabhängigen Elemente eines Erzeugendensystems und damit bleibt immer noch zu zeigen, dass Vektoren a) linear unabhängig und b) überhaupt ein Erzeugendensystem sind? verwirrt

24.09.2017, 17:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Phystikstudi
Ich habe eine allgemeinere Frage, um mit meiner Aufgabe fortzufahren. Wenn ich 2 Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ habe, die linear unabhängig sind, dann heißt das doch nicht automatisch, dass sie auch den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ aufspannen?

Doch das heißt es.

Zitat:

Original von Phystikstudi
Dimension ist doch per Definition die Anzahl der linear unabhängigen Elemente eines Erzeugendensystems und damit bleibt immer noch zu zeigen, dass Vektoren a) linear unabhängig und b) überhaupt ein Erzeugendensystem sind? verwirrt

Korrekt ist: Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis des Vektorraums. Jede Familie von linear unabhängigen Vektoren, deren Anzahl gleich der Dimension ist, ist automatisch selbst eine Basis (und damit auch ein Erzeugendensystem). smile

(Das gilt natürlich nur für endlich-dimensionale Vektorräume).

24.09.2017, 17:38

Physikstudi

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Zitat:

Original von klarsoweit

Korrekt ist: Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis des Vektorraums. Jede Familie von linear unabhängigen Vektoren, deren Anzahl gleich der Dimension ist, ist automatisch selbst eine Basis (und damit auch ein Erzeugendensystem). smile

(Das gilt natürlich nur für endlich-dimensionale Vektorräume).

Hmm. Folgt das aus einem Satz oder ist das eine Definition? Unsere Definition lautet:

"Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraums V heißt Basis von V; die Anzahl der Basiselemente nennt man Dimension."

Wenn ich diese Definition befolgen möchte und ich habe z. B. 2 Vektoren (1,1) und (1,2) gegeben, dann müsste ich ja zeigen, dass das überhaupt eine Basis (sprich linear unabhängiges Erzeugendensystem) ist. verwirrt

24.09.2017, 18:13

Helferlein

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Sagt Dir Basisaustauschsatz etwas?

24.09.2017, 18:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Physikstudi
Unsere Definition lautet:

"Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraums V heißt Basis von V; die Anzahl der Basiselemente nennt man Dimension."

Nichts anderes habe ich in meinem Beitrag ausgedrückt.

24.09.2017, 19:48

Physikstudi

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Zitat:

Original von Helferlein
Sagt Dir Basisaustauschsatz etwas?

Jetzt tut es das. Freude

Meine letzte Frage wäre, ob die Aufgabe im Eingangsposting mittels vollständiger Induktion gelöst wird?

24.09.2017, 19:55

Elvis

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Praktisch geht das viel einfacher. Subtrahiere den ersten Vektor von allen anderen und erkenne, dass die Matrix den Rang n hat. Fertig.

24.09.2017, 20:12

Physikstudi

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Zitat:

Original von Elvis
Praktisch geht das viel einfacher. Subtrahiere den ersten Vektor von allen anderen und erkenne, dass die Matrix den Rang n hat. Fertig.

Beim Thema Matrizen sind wir noch nicht.

24.09.2017, 22:11

Elvis

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Subtrahiere den ersten Vektor von allen anderen und erkenne, dass sie eine Basis bilden. Big Laugh

24.09.2017, 22:22

Physikstudi

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Okay, aber rein interessehalber, Induktion geht gar nicht?

Induktionsanfang:

n = 2:

$\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig. Daraus folgt, die zwei Vektoren bilden eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} (1,...,1), (1,2,...,1),...,(1,...,n) \end{eqnarray*}$ sei Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ für ein festes n.

Induktionsschluss: $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (1,...,1), (1,2,...,1),...,(1,...,n,1), (1,...,n+1) \end{eqnarray*}$ ist Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray*}$

Geht wahrscheinlich schwer, weil die Induktionsvoraussetzung einen Koeffizienten weniger hat als "n+1"? verwirrt

25.09.2017, 07:56

Elvis

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Ich würde es nicht versuchen, weil nicht offensichtlich ist, wie vollständige Induktion hier geht. Offenbar funktioniert ein direkter Beweis, und jede vollständige Induktion läuft hier vermutlich letztlich auch auf einen direkten Beweis hinaus. Gegen vollständige Induktion nach n spricht auch, dass z.B. an den Stellen 2 bis n dieser n Vektoren beliebige - von 1 verschiedene - reelle Zahlen stehen können, dann bilden diese Vektoren auch eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

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