Linear unabhängige Vektoren finden

24.09.2017, 23:52

Physikstudi

Linear unabhängige Vektoren finden

Beispielsweise sei der Vektorraum gegeben:

$\begin{eqnarray*} W = \{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} | x_1-x_2+x_3=0, x_1+x_2-x_4=0\} \end{eqnarray*}$

Wie geht man denn bei so einer Aufgabe vor, wenn man 4 linear unabhängige Vektoren (also eine Basis) finden möchte?

Meine Idee: Einen würde ich mir beliebig aussuchen. Z. B. erfüllt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Bedingung. Einen zweiten Vektor würde ich finden, indem ich den 1. linearkombiniere und aber eine Koordinate verändere. Also z. B. multipliziere ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit 2, verändere aber die 4. Koordinate: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wie kriege ich noch einen 3. und 4. linear unabhängigen Vektor? Gibt es da ein Schema?

24.09.2017, 23:57

Helferlein

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Da W zweidimensional ist, wirst Du keine vier linear unabhängigen Vektoren finden, egal wie Du es anstellst.
Lautet die Aufgabe nicht eher, eine Basis von W anzugeben?

25.09.2017, 00:09

Dopap

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hier liegt doch einfach der Schnitt zweier Hyperebenen vor oder ? Dann genügt es doch das homogene System zu lösen. oder ?

25.09.2017, 20:49

Physikstudi

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RE: Linear unabhängige Vektoren finden
Ahh, klar, ich bin fälschlicherweise davon ausgegangen, dass es 4-dimensional ist, nur weil da $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ steht. Unabhängige Variablen gibt's aber natürlich nur 2.

Jetzt habe ich trotzdem noch eine weitere Frage:

Sei gegeben:

$\begin{eqnarray*} V = \{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4| x_1-x_2+x_3=0, x_1+x_2-x_4=0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W = \{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 | x_1+x_2-3x_3=0, x_1+2x_3-x_4=0\} \end{eqnarray*}$

Wie berechnet man da die Basis von V+W? Ich möchte die Dimensionsformel überprüfen:

dim(V $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ W) + dim(V+W) = dim(V) + dim(W)

Beim Schnitt habe ich einfach die 4 Gleichungen als LGS gelöst. Bei der Summe weiß ich nicht genau, wie man vorgehen soll.

26.09.2017, 10:27

klarsoweit

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RE: Linear unabhängige Vektoren finden

Zitat:

Original von Physikstudi
Bei der Summe weiß ich nicht genau, wie man vorgehen soll.

Wenn v_1 und v_2 eine Basis von V und w_1 und w_2 eine Basis von W bilden, dann ist $\begin{eqnarray*} <v_1, v_2, w_1, w_2> \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von V+W. Extrahiere aus diesem Erzeugendensystem eine Basis. smile

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