Grenzwert bei Wurzelfunktion

25.09.2017, 19:36	sickterm	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bei Wurzelfunktion Hallo zusammen, ich bin etwas ratlos bei folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}+3x-2 } -2x = 3/4 \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht, wie man auf die Lösung kommt. Ich habe ein Umformen und Erweitern mit binomischen Formeln versucht (habe ich in einem sehr ähnlichen Beitrag gelesen, da komme ich auf: $\begin{eqnarray} \frac{3x-2} { \sqrt{4x^{2}+3x-2 } +2x } \end{eqnarray}$ aber da kann ich ja auch nicht rauskürzen? Öhm... :-) Wäre um Hilfe sehr dankbar. Viele Grüße
25.09.2017, 19:48	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit sieht das doch ganz gut aus. Ignoriere nun den linearen und konstanten Teil im Radikanden des Nenners. Dann kommst du der Lösung ganz nahe .
25.09.2017, 19:49	Gast250917	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bei Wurzelfunktion Klammere im Zähler und Nenner x aus und kürze!
25.09.2017, 20:32	sickterm	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, den konstanten und lineren Teil im Nenner zu ignorieren, würde heißen, die Funktion würde ungefähr so aussehen: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{3x-2}{\sqrt{4x^2}-2x} = \frac{3x-2}{2x+2x} = \frac{3x-2}{4x}<br /> \end{eqnarray}$ Ah, sehr gut, vielen Dank! Dann komme ich auch auf $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ Aber, warum kann ich das lineare und Radikale einfach ignorieren? Wie ich im Zähler und Nenner x ausklammern kann, habe ich leider nicht verstanden. Bzw., da wird es für mich gefühlt noch komplizierter
25.09.2017, 20:43	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Yup, so passt das . Da du x im Unendlichen betrachtest, hat das Quadrat deutlich mehr Gewicht. Der lineare Teil und insbesondere der konstate Teil, spielen da keine große Rolle mehr. Deswegen kann man sie bei der Grenzwertbetrachtung missachten. Das mim x ausklammern ist keine Notwendigkeit. Wenn man es kleinschrittig aufschreiben will, ist das aber das übliche Vorgehen.
25.09.2017, 21:19	sickterm	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, aber jetzt mal blöd gefragt: Wenn das Quadrat im unendlichen mehr bedeutet, warum könnte ich dann schon in der Ausgangsformel den linearen und konstanten Teil ignorieren? Also, ich seh ja, dass dann nichts richtiges raus kommt, ich verstehe nur nicht, warum ich es einmal ignorieren darf und einmal nicht. Und, wenn ich x ausklammer, dann komme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} \frac{3- \frac{2}{x}} {\frac{\sqrt{4x^{2}+3x-2}}{x}+2} \end{eqnarray}$ Und wie ginge es dann weiter? Entschuldige die genaue Nachfrage, ich würde es nur gerne allgemein verstehen, damit ich ähnliche Aufgaben auch lösen kann (oder schwierigere) :-)
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25.09.2017, 21:33	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist dann, dass du $\begin{eqnarray} \infty - \infty \end{eqnarray}$ rechnest. Da ist aber nicht klar wie groß die jeweils sind. Erst mit unserer Umformung umgehen wir das Problem. Auch bei dieser Variante musst du erst die Wurzel auflösen (mit der Vereinfachung). Dann siehst du, dass das -2/x keine Rolle spielt und kommst wieder auf 3/4. Bzw du kannst das x im Nenner der Wurzel in die Wurzel reinziehen und siehst "warum" man den linearen und konstanten Teil ignorieren kann.
25.09.2017, 22:39	sickterm	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay cool, vielen lieben Dank für die Hilfe und Erklärung!! Hat mir sehr geholfen :-)

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