Volumen eines Kegelstumpfes abhängig von der Höhe

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Hypernia Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines Kegelstumpfes abhängig von der Höhe
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich möchte eine Formel aufstellen, mithilfe derer ich die Höhe eines Kegelstumpfes bei gegebenem Volumen (sowie 2er Durchmesser) berechnen kann. Zum Hintergrund: In einen Blumentopf sollen x Liter Blumenerde eingefüllt werden - wie hoch muss Erde rein bzw. wie viel Rand bleibt oben über?

Meine Ideen:
1. Berechnen eines "virtuellen" Kegels unterhalb des Blumentopfes, der später abgezogen werden kann:
1.1 Höhe des virtuellen Kegels abhängig von gegebenen Durchmessern oben und unten und Gesamthöhe des Blumentopfes
Hvirt=DurchU/((DurchO-DurchU)/GesH)
1.2 Volumen des virtuellen Kegels
Vvirt=1/3*Pi*DurchU/2*DurchU/2*Hvirt

2. Berechnung des Radius am oberen Ende des Kegelstumpfes (Oberkante Erde, nicht Oberkante Topf) abhängig von der Füllhöhe h
RadiusH=DurchU+(DurchO-DurchU)*h/GesH/2

3. Berechnung des Gesamtkegels (ab der virtuellen Spitze)
Vges=1/3*Pi*RadiusH*RadiusH*(Hvirt+h)

4. Berechnung der Differenz aus Gesamtkegel und virtuellem Kegel
Vdiff=1/3*Pi*(RadiusH*RadiusH*(Hvirt+h)-DurchU/2*DurchU/2*Hvirt)
3*Vdiff/Pi=(RadiusH*RadiusH*(Hvirt+h)-DurchU/2*DurchU/2*Hvirt)
4.1 RadiusH ausmultiplizieren
RadiusH=DurchU+DurchO*h/2GesH-DurchU*h/2GesH
4.2 RadiusH² ausmultiplizieren zum Einsetzen in die Formel in 4
RadiusH²=
DurchU*DurchU
+DurchU*DurchO*h/2GesH
-DurchU*DurchU*h/2GesH
+DurchO*h/2GesH*DurchU
+DurchO*h/2GesH*DurchO*h/2GesH
-DurchU*h/2GesH*DurchU
-DurchU*h/2GesH*DurchO*h/2GesH
+DurchU*h/2GesH*DurchU*h/2GesH

Und ab hier bin ich dann aufgeschmissen.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen eines Kegelstumpfes abhängig von der Höhe
Ich hab mich jetzt nicht durch diesen Wust gekämpft, aber wenn Volumen und zwei Durchmesser gegeben sind, kannst Du doch die Formel fürs Volumen einfach nach der Höhe umstellen.

Viele Grüße
Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast gegeben

... Durchmesser Bodenfläche Blumentopf

... Durchmesser (offene) Deckfläche Blumentopf

... Gesamthöhe Blumentopf

Gesucht:

1. Volumenformel bei Füllung des Blumentopfs bis zur Höhe über Boden

2. Umstellung dieser Volumenformel bei gegebenem nach .


Lösung:


1. Richtig ist für den virtuellen Kegel unter der Bodenfläche

mit ,

das hast du ja oben so ähnlich auch stehen. Der entsprechende Kegel mit Erde der Höhe hat dann das -fache Volumen, so dass man



bekommt.


2. Die Umstellung nach kann das Problem nicht sein: Dritte Potenz isolieren, dann dritte Wurzel ziehen:

.


Anmerkung: Die Rechnung oben wurde unter der Prämisse durchgeführt, wie ein Blumentopf eben normalerweise aussieht (oben größerer Durchmesser). Die Endformel funktioniert aber auch für , nur ist dort dann die Hilfsvariable , und die dritte Wurzel muss im "weiteren Sinne" (d.h. auch für negative Radikanden) verstanden werden. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen eines Kegelstumpfes abhängig von der Höhe
Zitat:
Original von Steffen Bühler
Ich hab mich jetzt nicht durch diesen Wust gekämpft, aber wenn Volumen und zwei Durchmesser gegeben sind, kannst Du doch die Formel fürs Volumen einfach nach der Höhe umstellen.


ja sicher, die geometrischen Daten des Blumentopfes liegen vor und damit lässt sich V berechnen.

Nun wird Erde eingefüllt. Wie groß ist dann .
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