Produkt von Binomialkoeffizienten

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Chanel123 Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt von Binomialkoeffizienten
Meine Frage:
Wieso ist (G über k)*((N-G) über (n-k)) = (N über n)?

Meine Ideen:
Am einfachsten (^^) wäre es natürlich, wenn man das G mit N-G addieren und das k mit (n-k) addieren könnte, dann erhielte man den Binomialkoeffizienten (N über n). Ich denke aber kaum, dass es so einfach geht?
Natürlich habe ich mir die auch die Fakultäten ausgeschrieben, sprich:
(G!*(N-G)!)/(k!*(G-k)!*(n-k)!*(N-G-n+k)!), allerdings habe ich keine Ahnung, wie man diese Fakultäten verrechnet unglücklich
Hilfe unglücklich
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt von Binomialkoeffizienten
Warum sollte das gelten?

Hier ist ein einfaches Gegenbeispiel:



aber

Chanel123 Auf diesen Beitrag antworten »

Oooh sorry! Ich habe vergessen dem Produkt die Summe von k=0 bis n voranzustellen unglücklich
Also:
Summe von k=0 bis n (G über k)*((N-G) über (n-k)) = (N über n)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man kombinatorisch begründen:

... Menge der -elementigen Teilmengen von

... Menge derjenigen Mengen aus , welche genau der Zahlen aus enthalten

Offenkundig sind die Mengen paarweise disjunkt.

Und dass ihre Vereinigung für gleich sein muss, ist auch klar: Für jede Menge aus kann man die Anzahl der Zahlen aus bestimmen, und das muss zwangsläufig irgendein Wert zwischen und sein.

Damit muss gelten, und die Kombinatorik sagt sowie .
Chanel123 Auf diesen Beitrag antworten »

HAL9000 vielen Dank für deine Antwort! smile ich habe mich in meiner anfänglichen Frage falsch ausgedrückt, tut mir Leid. Mit der stochastischen Begründung und der Theorie, die hinter der Hypergeometrischen Verteilung steht, habe ich an sich keine Probleme, ich kann es nur rechnerisch nicht begründen/beweisen, wieso die Summe k=0 bis n von (G über k)*((N-G) über (n-k)) = (N über n) ist. Sprich: mir fehlt der Rechenweg dazu, weil ich nicht weiß, wie man diese Binomialkoeffizienten multipliziert bzw. anschließend über den Laufindex addiert unglücklich Gibt es Formeln dazu? (Mal abgesehen von (n über k+1)+(n über k)=(n+1 über k+1))
LG
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chanel123
ich kann es nur rechnerisch nicht begründen/beweisen

Ich deute das mal so, dass du auch zu denen gehörst, die kombinatorische Beweise als minderwertig einstufen? Augenzwinkern
 
 
Chanel123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weniger-mein Professor hingegen schon eher Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine andere Möglichkeit wäre die Betrachtung des Koeffizienten für in .

Läuft letztendlich auf dasselbe wie oben heraus, ist aber anders verpackt. Augenzwinkern
Chanel123 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, dann probiert ichs so smile
Nur aus Neugierde für kommende Beweise (daher auch keine genaue Ausführung nötig smile ): Ginge der Rechenweg auch irgendwie über den binomischen Lehrsatz (a+b)^n mit a=1 und b=1?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, mein letzter Vorschlag baut ja auf dem Binomischen Satz, allerdings mit a=1 und b=x.
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