Beweis durch Induktion

29.09.2017, 15:47

eldios

Beweis durch Induktion

Moin,
ich habe iene Aufgabe zu erledigen, bei der ich etwas auf dem Schlauch stehe. Bei mir liegt das ganze Thema schon etwas weiter zurück und somit fehlt mir quasi der Einstieg bzw wie ich an die Aufgabe richtig rangehe. Die Aufgabe ist:

Für jedes n $\begin{eqnarray*} \in ~\mathbb N \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} E_{n} \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} ~\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Wir definieren die Mengen $\begin{eqnarray*} X_{n} \end{eqnarray*}$ , n $\begin{eqnarray*} \in ~\mathbb N \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} X_{0} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} ~\mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_{n+1} \end{eqnarray*}$ := ( $\begin{eqnarray*} \frac {X_{n}} {A_{n}} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ endlich ist
$\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ sonst)

für $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} X_{n} \cap E_{n} \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie per Induktion, dass für alle n $\begin{eqnarray*} \in ~\mathbb N \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} X_{n} \end{eqnarray*}$ unendlich viele Elemente besitzt.

So ich bin mir nun total unsicher, wie ich das hier angehen muss. Habe einfach mal am Anfang

$\begin{eqnarray*} X_{0} \end{eqnarray*}$ = 0 gesetzt

Als nächsten Schritt habe ich einfach:

$\begin{eqnarray*} X_{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {X_{n}} {A_{n}} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ endlich ist

$\begin{eqnarray*} X_{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {X_{n}} {X_{n} \cap E_{n}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} X_{n} \cap E_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} E_{n} \end{eqnarray*}$

Was ja $\begin{eqnarray*} X_{n+1} \end{eqnarray*}$ zur Teilmenge machen würde.

Ich vermute mal, das das falsch ist. Könnte mich jemadn eventuell auf den richtigen Pfad führen?

Vielen Dank und mfg
eldios

29.09.2017, 16:34

tatmas

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

was ist denn ein Bruch von Mengen?

Zitat:

Habe einfach mal am Anfang $\begin{eqnarray*} X_{0} \end{eqnarray*}$ = 0 gesetzt

Das ist schon mal falsch, weil die Angabe was anderes sagt:

Zitat:

Wir definieren die Mengen $\begin{eqnarray*} X_{n} \end{eqnarray*}$ , n $\begin{eqnarray*} \in ~\mathbb N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} X_{0} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} ~\mathbb N \end{eqnarray*}$

29.09.2017, 23:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hat wohl die Mengendifferenz $\begin{align*} A\setminus B \end{align*}$ einen unheilvollen (Symbol-)Weg über $\begin{align*} A/B \end{align*}$ zu $\begin{align*} \frac{A}{B} \end{align*}$ genommen... Augenzwinkern

30.09.2017, 15:05

eldios

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Da hat wohl die Mengendifferenz $\begin{align*} A\setminus B \end{align*}$ einen unheilvollen (Symbol-)Weg über $\begin{align*} A/B \end{align*}$ zu $\begin{align*} \frac{A}{B} \end{align*}$ genommen... Augenzwinkern

ohja hast Recht. Das habe ich durcheinander geworfen.

Kann mir denn jemand einen Sinnvollen Rat geben, wie ich an die Lösung rangehe?

Mir fällt der anfang gerade so bisschen schwer.

mfg

30.09.2017, 16:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eldios
Mir fällt der anfang gerade so bisschen schwer.

Wortwörtlich aufgefasst sollte der Induktionsanfang $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ eigentlich keinerlei Mühe bereiten. Augenzwinkern

Im Induktionsschritt $\begin{align*} n\to n+1 \end{align*}$ ist zu zeigen, dass ausgehend von der Unendlichkeit der Menge $\begin{align*} X_n \end{align*}$ beide (!) Zweige in der Iteration

$\begin{align*} X_{n+1} := \begin{cases} X_n\setminus A_n & \;\mbox{wenn $A_n$ endlich}<br /> A_n & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$ mit $\begin{align*} A_n:=X_n\cap E_n \end{align*}$

wieder unendliche Mengen liefern. Und das sollte so schwer nicht sein. Augenzwinkern

05.10.2017, 15:37

eldios

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe. konnt die Aufgabe dann doch lösen Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Beweis durch Induktion

Verwandte Themen