Extremwert

29.09.2017, 18:24

Ideensucher

Extremwert

Meine Frage:
Guten Tag

Ich habe eine Funktion gegeben
$\begin{eqnarray*} y=y(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante
$\begin{eqnarray*} x,k\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Die Funktion ist allerdings implizit gegeben

$\begin{eqnarray*} (y^2-x^2)(y+x)=k \end{eqnarray*}$

Jetzt ist der Extremwert von y für x>0 gesucht

Wie könnte ich den jetzt finden?

Hat jemand einen Idee?

MfG

Meine Ideen:
nur numerisch

29.09.2017, 19:31

mYthos

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Du kannst das Ganze implizit (nach x) differenzieren!

Hinweise: Die Ableitung von y ist y' und z.B. jene von $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ ist 2yy' (Kettenregel!)
Die linke Seite ist ein Produkt, also verwende die ... - Regel, die rechte Seite ist eine Konstante.
Man kann die linke Seite allerdings auch vorher ausmultiplizieren.
Für $\begin{eqnarray*} x^2y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} xy^2 \end{eqnarray*}$ gilt aber immer noch die Produktregel!

mY+

29.09.2017, 20:29

Ideensucher

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Ich hab mal gerechnet

$\begin{eqnarray*} y^3+xy^2-x^2y-x^3=k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3y^2y' +y^2+2xyy'-2xy-x^2y' -3x^2=0 \end{eqnarray*}$

Kann man sagen,dass die Extremstelle von k unabhängig ist?

Jetzt vielleicht

$\begin{eqnarray*} y'=0 \end{eqnarray*}$

MfG

29.09.2017, 22:53

mYthos

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Soweit ist die Rechnung richtig, aber die Extremstelle ist letztendlich dennoch von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängig, denn $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist ja Bestandteil der Funktionsgleichung.
Die beim Nullsetzen entstehende Gleichung

$\begin{eqnarray*} y^2 - 2xy - 3x^2 = 0 \end{eqnarray*}$

löse durch Substitution, indem du sie zunächst durch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ (ungleich Null) dividierst und dann $\begin{eqnarray*} \frac y x = u \end{eqnarray*}$ setzst.
Die quadratische Gleichung löse nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ...

mY+

30.09.2017, 09:30

Ideensucher

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Zitat:

Original von mYthos
Die beim Nullsetzen entstehende Gleichung

$\begin{eqnarray*} y^2 - 2xy - 3x^2 = 0 \end{eqnarray*}$

löse durch Substitution, indem du sie zunächst durch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ (ungleich Null) dividierst und dann $\begin{eqnarray*} \frac y x = u \end{eqnarray*}$

Danke ich konnte die Lösung auch ohne Substitution finden
Die quadratische Gleichung lösen
Bekommt man für die positive Lösung y=3x
und dann noch einsetzen

30.09.2017, 12:42

mYthos

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.. und dann ist noch die Art des Extremums zu untersuchen.
Dazu ist das Vorzeichen der 2. Ableitung zu bestimmen.
Da die 1. Ableitung ein Bruch z/n ist und vordem der Zähler Null gesetzt wurde, hat die 2. Ableitung für diese Stelle das Aussehen z'/n
[(z'n - zn')/n² = z'/n für z = 0]

Damit ist es wesentlich einfacher, das Vorzeichen der 2. Ableitung an der Extremstelle zu bestimmen.
Der Nenner ist positiv, somit ist in der Ableitung des Zählers y' = 0 und y = 3x einzusetzen ...

Der Graph wurde für k = 32 gezeichnet. Bestätige das lokale Minimum durch Rechnung.
Die strichlierten Geraden sind die Asymptoten der Hyperbel.
Eine Asymptote ist y = -x. Deswegen liefert die 2. Lösung der quadr. Gl.mit y/x = -1 keinen weiteren relativen Extremwert

[attach]45318[/attach]

mY+

30.09.2017, 13:44

HAL 9000

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Alternative Rechnung: Aus der Originalgleichung folgt durch Betragsbildung (nichtäquivalente Umformung!)

$\begin{align*} |(y-x)(y+x)^2| = |k| \end{align*}$ ,

was für $\begin{align*} k\neq 0 \end{align*}$ dann logarithmiert $\begin{align*} \ln|y-x| + 2\ln|y+x| = \ln|k| \end{align*}$ ergibt, und dies nach $\begin{align*} x \end{align*}$ differenziert dann

$\begin{align*} \frac{y'-1}{y-x} + \frac{2(y'+1)}{y+x} = 0 \end{align*}$ , umgestellt $\begin{align*} y'(3y-x)+y-3x = 0 \end{align*}$ .

Ergibt also etwas einfachere Terme.

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