Endwert einer nachschüssigen Rente (Herleitung)

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Wunderkind89 Auf diesen Beitrag antworten »
Endwert einer nachschüssigen Rente (Herleitung)
Kann mir jemand sagen, wie ich auf r=(q^(n) - 1) / (q - 1)
komme (Lösung aus einem Buch).

Ich hab jedoch für die geometrische Reihe
(1 - q^(n+1))/(1-q) also die +1 im
Exponent fällt laut Buch weg und das kann ich
nicht nachvollziehen, geschweige wie ich darauf komme.

Bitte helft mir
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endwert einer nachschüssigen Rente (Herleitung)
https://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung#Grundformeln
Wunderkind89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde aber immernoch nicht schlau daraus. Ich brauche ja die Herleitung von dem Endwert einer nachschüssigen Rente. Laut Wikipedia ist die Herleitung einer vorschüssigen Rente gegeben, was mich noch mehr verwirrt.

Mein Fokus liegt speziell auf der geometrischen Reihe und warum die +1 im Exponent wegfällt. Welche Umformung wurde hier gemacht ?

r*( q^n - 1) / (q -1) finde ich ist nicht

adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die vorschüssige Formel nur durch q dividieren.
Wunderkind89 Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Buch "Finanzmathematik Kompakt für Studierende und Praktiker" von Rainer Schwenkert und Yvonne Stry muss nachschüssiger Rentenendwertfaktor durch q dividiert werden, um den nachschüssigen Rentenbarwertfaktor zu erhalten.

Aus dem Buch:

Gemäß dem Barwertkonzept ergibt sich der Rentenendwert aus
der Summe der einzelnen aufgezinsten Rentenraten.
Durch Umordnung und Auffassung der Summanden als geometrische
Reihe erhält man r*(q^(n) - 1) / (q-1)

In dem Buch war die Rede von nachschüssigen Rentenendwert und dieser wurde als geometrische Reihe so aufgeschrieben: r*(q^(n) - 1) / (q-1).

Sie reden von vorschüssigen Formel duch q....
Wunderkind89 Auf diesen Beitrag antworten »

Sie mögen eventuell Recht haben, jedoch wollte ich auf die Formel kommen, anhand der Vorgehensweise des Buches.
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, sagen wir mal, du zahlst am Ende des Jahres 2017 einen Betrag von 1000 € bei der Bank ein und 2018 wieder und so weiter, willst insgesamt 6 Jahre Rente sparen, bei einem Zins von 2%.

Am Ende des Jahres 2018 wird das Zeugs nun verzinst worden sein, zu insgesamt 1020 €. Dann kommen aber auch schon wieder deine nächsten 1000 € dazu (also insgesamt 2020 €).

Zum Ende des Jahres 2019 kommt der nächste Zinsschritt - und jetzt kommt der Witz: Sowohl die 1020 € werden (noch einmal) verzinst, als auch die 1000 € werden (zum ersten Mal) verzinst, das gibt 1040,40 € bzw. 1020 €, zusammen 2060,40 €. Jetzt kommen aber schon wieder deine 1000 € oben drauf und so hast du 3060,40 €, was sich insgesamt errechnet aus

1000 + 1000*1,02 + 1000*1,02², was genau der Formel entspricht mit r = 1000, q = 1,02, usw. Man kann das auch graphisch ganz nett darstellen durch sowas wie


1000 -> 1020 -> 1040,40
---- -> 1000 -> 1020 (usw. usf.)
------------ -> 1000


d.h. die Summe der n-ten Spalte entspricht deinem Gesamtguthaben am Ende des Jahres n. Hier war es das Ende des dritten Jahres (formal zählt das ganze Jahr 2017 mit zu deiner "Spardauer", obwohl du erst am Ende einzahlst - weil du ja gerade eben nachschüssig sparst) und der letzte Exponent in der Formel war 2, weil vom ersten bis zum dritten Jahr zwei mal verzinst wurde. Mit der geometrischen Summenformel kann man das dann netterweise umformen zu



und hat den Exponenten wieder auf 3, genau wie die Anzahl der Jahre.

Soviel zum nachschüssigen Sparen.

Vorschüssiges Sparen heißt jetzt, dass du immer am Anfang eines Jahres einzahlst und dieser Betrag über das Jahr verzinst wird. Daher wird jeder Einzahlbetrag genau einmal mehr verzinst als beim nachschüssigen Sparen (insbesondere wird auch deine letzte Einzahlung von 1000 € noch verzinst), so dass man einfach die Formel für den nachschüssigen Endwert mit dem Zinsfaktor q multiplizieren kann, um die Formel für den vorschüssigen Endwert zu bekommen.
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