Nachweis Stetigkeit in metrischem Raum

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redshark Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis Stetigkeit in metrischem Raum
Meine Frage:
Seien und metrische Räume und sei ferner eine Abbildung.

Man ziege, dass f genau dann stetig ist, wenn für jedes

Meine Ideen:
Die Hinrichtung, wenn f also stetig angenommen wird, habe ich mit dem Folgenkriterium recht gut hinbekommen.

Nur versuche ich seit Tagen den Rückweg ebenso mit dem Folgenkriterium zu lösen, aber ohne nennenswerten Erfolg.
Mein Anfang ist:

Sei für alle . Angenommen f wäre nicht stetig. Dann existiert eine Folge mit und . Die Bildmenge enthält f(x) und nach Voraussetzung ist auch , also ein Häufungspunkt von .

Nur hier komme ich nicht mehr weiter, ich müsste ja zeigen, dass f(x) doch der Grenzwert von f(x_n) sein muss, wenn er in liegt, aber das klappt nicht...

Kann mir jemand helfen? Muss man dies eher über das offene Mengen-Kriterium lösen?

VG und danke

redshark
Marvin1134 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke Du bist eigentlich auf einem guten Weg. Zunächst würde ich einmal als Menge speziell wählen. Mit Deinen Überlegungen folgerst Du dann dass f(x) ein HP vom Bild Deiner Folge ist. Das reicht natürlich noch nicht ganz um die Aussage zu zeigen. Versuche das ganze mal auf Teilfolgen zu übertragen, was bedeutet diese Argumentation für eine beliebige TF von ? Kennst Du das Teilfogenprinzip?

Gruß und viel Erfolg, Marvin
 
 
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