Abbildungsvorschrift integrieren

30.09.2017, 18:21

HNF

Abbildungsvorschrift integrieren

Meine Frage:
Hallo,

Ich möchte folgendes integrieren:
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \frac{x}{\sqrt{2x+5} } \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, dass man hier die Substitutionsmethode anwenden muss.

Ich setze: u= 2x+5
$\begin{eqnarray*} du= 2 dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx= \frac{1}{2} du \end{eqnarray*}$

Nun im Integral einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \frac{x}{\sqrt{u} } \, \frac{1}{2} du \end{eqnarray*}$

Hier das Problem. Bei den anderen Aufgabe konnte man schön das "x" kürzen. Hier leider nicht.

30.09.2017, 19:16

HAL 9000

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Der Klassiker: Unvollständige (!) Substitution. unglücklich

Das $\begin{align*} x \end{align*}$ hat im letzten Integral nichts mehr zu suchen, ersetze es gemäß $\begin{align*} x = \frac{u-5}{2} \end{align*}$ .

30.09.2017, 20:51

HNF

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Wow, vielen Dank hat mir sehr geholfen.

Muss man dies immer machen, wenn sich nichts im Integral wegkützt?

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \frac{\frac{u-5}{2} }{\sqrt{u} } \,\frac{1}{2} du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \frac{1}{2} \frac{u-5}{2\sqrt{u} } \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \frac{1}{4} \frac{u-5}{\sqrt{u} } \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \int_{a}^{b} \! \frac{u-5}{\sqrt{u} } \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2\sqrt{u} (u-5) - \int_{a}^{b} \! 2\sqrt{u} \, du)\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2\sqrt{u} (u-5) - \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2} } ) \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

30.09.2017, 21:36

trara

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Hallo
du hast falsch integriert!
zu integrieren ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{u} -\frac{5}{\sqrt{u}} \end{eqnarray*}$

30.09.2017, 22:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von HNF
Muss man dies immer machen, wenn sich nichts im Integral wegkürzt?

Das, was du als "Wegkürzen" bezeichnet, ist ein selten eintretender Sonderfall. Die alte Variable durch die neue, substituierte Variable zu ersetzen, ist der allgemeine Fall. Sollte man eigentlich so mitkriegen, wenn man die Substitutionsmethode kennenlernt.

30.09.2017, 22:20

HNF

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Hallo,

Kann ich nicht ganz nachvollziehen, da dies nach Potenzgesetzen identisch ist.

30.09.2017, 23:35

HAL 9000

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Was bitte kannst du "nicht nachvollziehen" ? Es ist $\begin{align*} \frac{1}{4} \int \frac{u-5}{\sqrt{u}} ~ \dd u = \frac{1}{4} \int \left( \frac{u}{\sqrt{u}}-\frac{5}{\sqrt{u}} \right) ~ \dd u = \frac{1}{4} \int \left( \sqrt{u}-\frac{5}{\sqrt{u}} \right) ~ \dd u \end{align*}$ .

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