Welche Formel für Berechnung mit Computer?

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30.09.2017, 18:32

amateurphysiker_

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Welche Formel für Berechnung mit Computer?

Hi,

kann mir vielleicht jemand einen Hinweis geben, wie man sich die Aufgabe erschließen kann?

Vielen Dank im Voraus!

30.09.2017, 18:58

HAL 9000

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Was vermieden werden sollte, sind Auslöschungen bei Differenzbildung. Am besten ist es also, wenn in Termen der Struktur $\begin{align*} \pm b\pm \sqrt{b^2-4ac} \end{align*}$ beide Summanden dasselbe Vorzeichen haben - ACHTUNG: Das hängt wesentlich vom Vorzeichen des Wertes von $\begin{align*} b \end{align*}$ ab!

30.09.2017, 20:09

Dopap

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die "große" Lösung mit Linearisierung:

$\begin{eqnarray*} x_1=5.E5\cdot (-1-(1-\frac {4}{1.E12})^{0.5})\approx 5.E5(-1-(1-0.5\cdot \frac {4}{1.E12})= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5E5\cdot(-2+\text{2.E-12})=\text{-1E6+1E-8}=-999999.99999999 \end{eqnarray*}$

typischer Fall, wo die Linearisierung genauer als der Taschenrechner mit der Wurzel ist.
Ist wichtig wenn man relativistische Effekte - wie Massenzunahme bei kleinen Geschwindigkeiten - bestimmen will. Augenzwinkern

01.10.2017, 12:47

amateurphysiker_

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Zitat:

Original von HAL 9000
Was vermieden werden sollte, sind Auslöschungen bei Differenzbildung. Am besten ist es also, wenn in Termen der Struktur $\begin{align*} \pm b\pm \sqrt{b^2-4ac} \end{align*}$ beide Summanden dasselbe Vorzeichen haben - ACHTUNG: Das hängt wesentlich vom Vorzeichen des Wertes von $\begin{align*} b \end{align*}$ ab!

Danke. Ich verstehe nur leider nicht was du meinst.

Sowohl die Formeln für x1/x2 als auch y1/y2 haben doch jeweils Terme wo die Summanden einmal die gleichen VZ haben und einmal verschieden (x1/x2: - + und - -, y1/y2 im nenner:+ + und + -).

Was wäre dann die richtige Antwort und weshalb?

01.10.2017, 16:37

HAL 9000

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Ich rede nicht (nur) von den $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ in der Formel, sondern von den echten Zahlen, die dahinter stehen: Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} b=-4 \end{eqnarray*}$ ist, dann hat $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ negatives Vorzeichen, während $\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$ positives Vorzeichen hat.

03.10.2017, 20:05

amateurphysiker_

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Hmm..sorry aber ich verstehe immer noch nicht.

Kannst du es mir anhand des Beispiels in der Aufgabe verdeutlichen? Ich hab das mal im Anhang aufgeschrieben. Wie gesagt es gibt bei beiden Formeln jeweils eine Summe mit gleichen Vorzeichen und eine Summe mit entgegengesetzten VZ. Also nach deinem Kriterium würden beide Formeln wegfallen!?

03.10.2017, 21:51

Dopap

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bei diesen Werten nimmst du $\begin{eqnarray*} x_2=-1E6 \end{eqnarray*}$ ( TaschenRechner ) für die große Nullstelle und $\begin{eqnarray*} y_1=\text{-1.E-6} \end{eqnarray*}$ ( Taschenrecher ) für die kleine Nullstelle. Also immer die, bei der in der realen Rechnung keine Differenz auftritt. $\begin{eqnarray*} -4-4 =-(4+4) \end{eqnarray*}$ keine wirkliche Differenz!

Ich hatte unter Verwendung der Binomialreihe die Lösung $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ noch etwas verfeinert.

04.10.2017, 18:21

HAL 9000

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Genauso ist es. Bei den beiden anderen Formeln treten jeweils die erwähnten Auslöschungseffekte zu Tage: Bei $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ im Zähler und bei $\begin{align*} y_2 \end{align*}$ im Nenner.

Tipp das doch einfach mal ein in einen "normalen" TR, also einen der selbst im Hintergrund so mit maximal 13 Ziffern rechnen und vergleiche das dann mit den genaueren Berechnungswerten $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} y_1 \end{align*}$

04.10.2017, 21:26

Dopap

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und als "amateurphysiker" sieht man sofort und ohne TR:

$\begin{eqnarray*} x(x + 1.E6)\approx 0 \Rightarrow x=-1.E6 \lor x=0 \end{eqnarray*}$ Erstaunt1

und das ist schon ziemlich gut.

07.10.2017, 19:56

amateurphysiker_

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Danke!

Als wären die korrekten Formeln die für x_2 und y_1? Und die Begründung wäre, dass hier keine Auslöschung geschieht und daher die relative Ungenauigkeit minimiert wird?

07.10.2017, 20:07

Dopap

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Die relativen Fehler minimiert ? Sagen wir es mal so:

ohne Auslöschung sind die Ergebnisse nicht zu beanstanden.
Mit Auslöschung sind die Ergebnisse ein Desaster. Völlig unbrauchbar.

08.10.2017, 12:42

amateurphysiker_

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Ok danke. Aber wie müsste die Erläuerung "klausurtauglich" formuliert sein?

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