exponentialfunktion gleiche Basen

01.10.2017, 21:48

stefan_2356

exponentialfunktion gleiche Basen

^...Hoch

Bsp1)
6^(x+1) = 3^(x+1) * 4^(x+1)

Ergebnis
x=-1

Bsp2)
3*5^(x+2)-17*5^(x-1)=358

Ergebnis
x=1

Jeweils auflösen nach x
Mich interessiert der Vorgang? Ich komme nicht drauf
Selbst mit logarithmieren hats nicht geklappt

bitte den Lösungsweg zeigen
Geht das auch ohne logarithmieren?

01.10.2017, 21:56

Helferlein

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Was hast Du denn logarithmiert?

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} 6^{x+1}=12^{x+1} \end{eqnarray*}$ ergibt logarithmiert $\begin{eqnarray*} (x+1)ln 6=(x+1) ln 12 \end{eqnarray*}$

Und dessen einzige Lösung ist ziemlich offensichtlich x=-1

01.10.2017, 22:07

stefan_2356

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$\begin{eqnarray*} (x+1)*lg6=(x+1)*lg3*(x+1)lg4 \end{eqnarray*}$
umgeformt auf $\begin{eqnarray*} ( lg6/(lg3*lg4))-1 = x \end{eqnarray*}$
das in den TR gegeben kommt ne kommazahl heraus

01.10.2017, 22:31

Helferlein

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Es ist aber doch $\begin{eqnarray*} lg(ab)=lg(a)+lg(b) \neq lg(a) \cdot lg(b) \end{eqnarray*}$

Und somit wird aus der Ausgangsgleichung, wenn Du meinen Tipp von oben ignorieren willst, $\begin{eqnarray*} (x+1)lg(6)=((x+1)lg(3)+(x+1)lg(4)) \end{eqnarray*}$ . Du erhältst damit eine kompliziertere Version meines Vorschlags.

02.10.2017, 06:07

stefan_2356

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Zitat:

Original von Helferlein
Was hast Du denn logarithmiert?

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} 6^{x+1}=12^{x+1} \end{eqnarray*}$ ergibt logarithmiert $\begin{eqnarray*} (x+1)ln 6=(x+1) ln 12 \end{eqnarray*}$

Und dessen einzige Lösung ist ziemlich offensichtlich x=-1

Danke für die Antwort, trotzdem stehe ich auf der Leitung verwirrt

$\begin{eqnarray*} 12^{x+1} \end{eqnarray*}$ ???Wieso kann $\begin{eqnarray*} 4^{x+1}*3^{x+1} \end{eqnarray*}$ gerechnet werden, ohne dass es diesselbe basis hat?
Wie genau kommt man da jetzt auf x=1? Bitte umformen
ob ln oder log ist in diesem Bsp egal oder? geht ja nur darum mit derselben basis zu rechnen

02.10.2017, 06:13

G021017

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12=3*4

$\begin{eqnarray*} (a*b)^c = a^c*b^c \end{eqnarray*}$

02.10.2017, 06:26

stefan_2356

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okay, wegen der selben Hochzahl

Zitat:

wie genau kommt man da jetzt auf x=-1
Umformen? nur wie? multipliziere ich ln6 in die Klammer?

02.10.2017, 06:56

klarsoweit

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RE: exponentialfunktion gleiche Basen

Zitat:

Original von stefan_2356
Bsp1)
6^(x+1) = 3^(x+1) * 4^(x+1)

Ich frage mich, warum überhaupt logarithmiert wird. Nach Umformung der rechten Seite:

$\begin{eqnarray*} 3^{x+1} \cdot 4^{x+1} = 3^{x+1} \cdot 2^{x+1} \cdot 2^{x+1} = 6^{x+1} \cdot 2^{x+1} \end{eqnarray*}$

kann man in der Ursprungsgleichung das 6^(x+1) rauskürzen und ist dann fast am Ziel. Augenzwinkern

02.10.2017, 09:05

stefan_2356

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@klarosoweit
wenn ich $\begin{eqnarray*} 6^{x+1} \end{eqnarray*}$ kürze habe ich stehen:

1=(x+1)ln2

umgeformt:

x= (1/ln2)-1

x=0.44

???

02.10.2017, 09:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von stefan_2356
@klarosoweit
wenn ich $\begin{eqnarray*} 6^{x+1} \end{eqnarray*}$ kürze habe ich stehen:

1=(x+1)ln2

Ich weiß nicht, was du gerechnet hast. Ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} 1 = 2^{x+1} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt logarithmierst (was aber völlig unnötig ist), müßte links eine Null stehen.

Der einzige Exponent, der die Gleichung $\begin{eqnarray*} 1 = 2^{x+1} \end{eqnarray*}$ erfüllt, ist die Null. Also muß x+1 = 0 gelten. Wie gesagt: geht alles ohne Logarithmus. smile

02.10.2017, 16:36

stefan_2356

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okay danke
1 ist das ergebnis von jeglicher zahl hoch 0

hatte ich nicht daran gedacht

Danke für die Hilfe

02.10.2017, 17:54

Helferlein

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Um den anderen Weg noch ausführlich zu Ende zu bringen:

$\begin{align*} (x+1) \cdot ln~6=(x+1) \cdot ln~12 \Leftrightarrow 0= (x+1) \cdot ln~6 - (x+1) \cdot ln~12 = (x+1)(ln~6 -ln~12) \end{align*}$

Da aber $\begin{align*} ln~6 -ln~12 =-ln~2\neq 0 \end{align*}$ , muss $\begin{align*} x+1=0 \end{align*}$ gelten, also x=-1.

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