Vektordifferenzialoperationen divgrad

02.10.2017, 15:38	scram	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektordifferenzialoperationen divgrad Meine Frage: Hallo, ich habe folgendes Problemchen: ich versuche mich an der Herleitung einer Krümmungsformuilierung (Grenzflächenkrümmung) aus einem Skalarfeld $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ der Phasengehalt eines Stoffes in einem Zweiphasengemisch ist. Krümmung aus der Divergenz des Gradientenfeldes von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \kappa=-\nabla\bullet\mathbf{n}=-\nabla\bullet\left(\frac{\nabla \alpha_k}{\|\nabla \alpha_k\|}\right) \end{eqnarray}$ Wendet man die Produktregel darauf an: $\begin{eqnarray} \nabla\bullet(s\vec v) = s\nabla\bullet\vec v + \vec v \bullet \nabla s \end{eqnarray}$ sollte doch eigentlich $\begin{eqnarray} \kappa =-\frac{1}{\|\nabla \alpha_k\|}\nabla\bullet\nabla \alpha_k - \nabla \left(\frac{1}{\|\nabla \alpha_k\|}\right)\bullet\nabla\alpha_k \end{eqnarray}$ dabei raus kommen. In mehreren Veröffentlichungen finde ich aber: $\begin{eqnarray} \kappa =-\frac{1}{\|\nabla \alpha_k\|}\left[\nabla\bullet\nabla \alpha_k + \nabla \left(\frac{1}{\|\nabla \alpha_k\|}\right)\bullet\nabla\alpha_k\right] \end{eqnarray}$ oder umgeformt: $\begin{eqnarray} \kappa =-\frac{1}{\|\nabla \alpha_k\|}\bigg[\nabla^2\alpha_k - \frac{\nabla \alpha_k}{\|\nabla \alpha_k\|}\bullet \nabla\|\nabla\alpha_k\|\bigg] \end{eqnarray}$ Bei Letzterem verstehe ich die Umformung des letzten Terms nicht. Wie ist $\begin{eqnarray} \nabla \left(\frac{1}{\|\nabla \alpha_k\|}\right)\bullet\nabla\alpha_k\stackrel{!}{=}- \frac{\nabla \alpha_k}{\|\nabla \alpha_k\|}\bullet \nabla\|\nabla\alpha_k\| \end{eqnarray}$ ? Ich bin offensichtlich nicht sehr sattelfest in dem Thema. Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Vielen Dank Meine Ideen: habe ich versucht in die Frage einfließen zu lassen

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