Bestimmung der Gesamtmasse mit Dichtefunktion

02.10.2017, 18:10	Xhehlhah	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung der Gesamtmasse mit Dichtefunktion Meine Frage: Moin moin, ich haben da folgende Fragestellung gegeben und ich bin mir da nicht so ganz sicher, ob meine Ansätze da so richtig sind: Der Normalbereich $\begin{eqnarray} D=\{(x,y)\in \mathbb R ^2 : 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq \sin(x) \} \end{eqnarray}$ ist mit Masse der Dichte $\begin{eqnarray} \rho(x,y)=1+x+4y \end{eqnarray}$ belegt. Bestimmen Sie die Gesamtmasse $\begin{eqnarray} \int_{D}^{} \! \rho(x) \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wir haben Mehrfachintegrale im letzten Semester nur in der letzten Vorlesung angerissen, da jedoch schon Übungen raus sind, dachte ich mir, dass ich es trotzdem mal angehe. Meine Idee war folgende: Da es ja in der Ebene ist und laut Bronstein die Formel $\begin{eqnarray} M=\int_{S}^{} \! \rho \, dS = \int_{}^{} \! \int_{S}^{} \! \rho \, dy \, dx \end{eqnarray}$ gibt (Masse einer ebenen Figur mit der Dichtefunktion $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ ), dass meine Formel in etwa so aussehen könnte. $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi} \! \int_{0}^{\sin(x) } \! 1+x+4y \, dy \, dx \end{eqnarray}$ Ich bekomme nun $\begin{eqnarray} M = 2(1+\pi) \end{eqnarray}$ raus und klingt als Lösung schon mal nicht schlecht, nun weiß ich jedoch nicht ob mein Ansatz der richtige ist oder ob ich daneben liege. Ich möchte die Aufgabe gerne alleine lösen, als Vorbereitung für das anstehende Semester.
02.10.2017, 19:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz ist richtig, und Ergebnis auch.
02.10.2017, 21:48	Xhehlhah	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool Danke! Ich hätte da noch eine Frage: Die Funktion ist ja im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und es ist ja eigentlich nur eine Ebene im Raum, oder (quasi ohne "3. Dimension" - ich stelle mir da ein Blatt Papier im Raum vor, nur ohne dessen Dicke)? Wie bin ich in der Lage die Masse dieses Körpers auszurechnen, ohne diese "3. Dimension"?
03.10.2017, 05:55	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ ist eine Flächendichte. Also wie bei einem schlecht rausgebackenen und teilweise belegten Pfannkuchen. Über dessen Dicke =z ist nichts bekannt. Kann konstant sein oder auch nicht. oder: von einem räumlicher Körper mit räumlich variabler Dichte wird eine Scheibe abgeschnitten (z=const. ) und somit auf x-y reduziert. Bemerkung: es gibt auch die eindimensionale Dichte. Als Konstante findet die z.B in Spinnereien oder bei Glasfasern Verwendung. 1 tex = 1g/10000m https://www.dbw.de/fileadmin/PDF/powerfi...werfil_1200.pdf ( Die "normale" Dichte spezifische Dichte zu nennen ist natürlich ein Unding )
03.10.2017, 19:10	Xhehlhah	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Erklärung!

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