Multivariate Verteilung angeben

03.10.2017, 14:24

Stochastiker

Multivariate Verteilung angeben

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich hänge an Folgender Aufgabe:

3 Bälle werden auf 4 Urnen verteilt, wobei jeder Ball mit Wahrscheinlichkeit pi in Urne p gelangt. Es ist:

Urne 1 2 3 4
pi 0,2 0,5 0,1 0,2

Wir nehmen an, dass die Platzierung der Bälle stochastisch unabhängig erfolgen. Xi beschreibe die Zahl der Bälle in Urne i.

a) Wie lautet die multivariate Verteilung des Zufallsvektors (X1, X2, X3, X4)? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist (X1, X2, X3, X4) = (0, 2, 0, 1)
b) Was ist die gemeinsame Verteilung von X1+X2 und X3+X4?
c) Bestimmen Sie Kovarianz und Korrelation zwischen X1+X2 und X3+X4.
d) Welche Verteilung hat X1+X2? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist X1+X2=2.

Meine Ideen:
Ich bin noch völlig aufgeschmissen, bei a habe ich die Überlegung:
P(0,2,0,1) = 0*0,2+2*0,5+0,1+0*0,2
So würde aber eine Wahrscheinlichkeit von größer 1 rauskommen, was ja nicht möglich ist.
Vielleicht kann mir ja jemand einen Ansatz geben, wie ich die Verteilung aufstelle und dann die entsprechende W ausrechne. Außerdem wäre ein Tipp für die gemeinsame Verteilung sehr nett.

Vielen Dank!

03.10.2017, 14:46

Stochastiker

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Hallo nochmal,

ich habe zumindest für a) Teil 2 nun den Ansatz:

0,04*0 + 0,25*2 + 0,01*0 + 0,04*1 = 0,54

Ist das soweit richtig?

03.10.2017, 15:04

HAL 9000

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Hast du schon mal von der Multinomialverteilung gehört?

03.10.2017, 15:49

Stochastiker

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Danke für den Hinweis:

Dann wäre also:

$\begin{eqnarray*} P(0,2,0,1)=\frac{3!}{0!*2!*0!*1!}*0,5^2*0,2^1=0,15 \end{eqnarray*}$

Wie gebe ich dazu die Verteilung an? Als Tabelle?

03.10.2017, 16:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stochastiker
Wie gebe ich dazu die Verteilung an?

Da es eine Standardverteilung ist, genügt eine Angabe wie $\begin{align*} (X_1,X_2,X_3,X_4)\sim M(3,(0.2,0.5,0.1,0.2)) \end{align*}$ .

03.10.2017, 16:31

Stochastiker

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Vielen Dank für deine Hilfe, nun zu c)

Kannst du mir einen Hinweis geben, wie ich die gemeinsame Verteilung ausrechne?

03.10.2017, 18:26

HAL 9000

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$\begin{align*} X_1+X_2 \end{align*}$ kennzeichnet die Anzahlen der Bälle in den Urnen 1 und 2 zusammengefasst (!), das geschieht mit Wkt 0.2+0.5=0.7. Analog die Betrachtungen zu $\begin{align*} X_3+X_4 \end{align*}$ ergibt dies $\begin{align*} (X_1+X_2,X_3+X_4) \sim M(3,(0.2+0.5,0.1+0.2)) = M(3,(0.7,0.3)) \end{align*}$ . Das kann man dann auch so deuten: $\begin{align*} Y:=X_1+X_2 \end{align*}$ ist binomialverteilt $\begin{align*} B(3,0.7) \end{align*}$ und damit verknüpft ist $\begin{align*} X_3+X_4 = 3-Y \end{align*}$ . Das ermöglicht die Beantwortung der Fragen b),c),d).

03.10.2017, 19:01

Stochastiker

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Dann versuche ich mal mein Glück - vielen Dank für deine Erklärungen und Geduld:

b) Die gemeinsame Verteilung hast du ja schon genannt, sie ist: $\begin{eqnarray*} M(3,(0,7;0,3)) \end{eqnarray*}$

c) Hier muss ich erst den Erwartungswert von X und Y berechnen und dann die Formel: $\begin{eqnarray*} Cov(x,y)=E([X-E(X)][Y-E(Y)]) \end{eqnarray*}$ und dann in Korrelation durch: $\begin{eqnarray*} Corr(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \end{eqnarray*}$ umrechnen. Benutze ich hier die Zufallsvariablen X1=0; X2=2; X3=0; X4=1 und Y1=1, Y2=2, Y3=3, Y4=4?

d) X1+X1 ist binomiaverteilt und die Wahrscheinlichkeit ist:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}*0,7^(2)*0,3^1= 0,441 \end{eqnarray*}$

03.10.2017, 19:12

HAL 9000

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c) Nochmal: Mit $\begin{align*} Y:=X_1+X_2 \end{align*}$ ist $\begin{align*} X_3+X_4=3-Y \end{align*}$ . Damit ist

$\begin{align*} \operatorname{Cov}(X_1+X_2,X_3+X_4) = \operatorname{Cov}(Y,3-Y) = \operatorname{Cov}(Y,3)-\operatorname{Cov}(Y,Y) = -\operatorname{Var}(Y) \end{align*}$ ,

und das lässt sich mit $\begin{align*} Y\sim B(3,0.7) \end{align*}$ leicht berechnen.

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