Wurzelgleichung auflösen

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Philipp2706 Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelgleichung auflösen
Hi, smile
ich versuche seit Tagen folgende Aufgabe zu rechnen:


Soweit habe ich es denke ich richtig:








Dann habe ich den Wurzelterm isoliert:







An dieser Stelle weiß ich nicht weiter. Ich denke dass ich einen der drei rechten Terme auf die linke Seite ziehen muss und nochmal die binomische Formel anwenden muss. Ich weiß allerdings nicht welchen. Ich hätte in jedem Fall 4er Potenzen und in der Lösung kommen nur 3er Potenzen vor verwirrt Hammer

Das ist die Lösung:

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Tu dir einen gefallen und vereinfache erst einmal die rechte Seite, indem du bisschen was ausmulitplizierst. Dann quadrierst du das einfach so wie es steht, bekommst du eine (erst einmal) quadratische Gleichung in .

Ausserdem ist und nicht immer das gleiche. Das gilt nur für . Für gilt .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich bin noch am rätseln: ist mit Sicherheit falsch - tatsächlich gibt es für viele keine reelle Lösung. Tatsächlich fällt es mir momentan schwer, überhaupt mit reellen Lösungen anzugeben, vom Trivialfall mal abgesehen. verwirrt

EDIT: Doch, es gibt Paare mit Lösungen. Ist aber nicht ohne. Augenzwinkern
Philipp2706 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für den Tipp mit dem ausmultiplizieren. Freude Ich stecke allerdings schon wieder fest.



und die binomische Formel ausklammern bringt mich nicht weiter und alles einzeln ausmultiplizieren bringt mir auch nicht viel. unglücklich

Weiß jemand weiter?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, das Zusammenfassen der x-Terme rechts bringt schon eine enorme Vereinfachung - vor allem angesichts der Quadrierung, die danach noch ansteht! Am Ende bleibt dann nämlich sogar nur noch eine lineare Gleichung übrig. Augenzwinkern

Das viel größere Problem ist, dass die letztlich erreichte Lösungsformel in vielen Parameterkonstellationen nur eine Scheinlösung darstellt.
Philipp2706 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich habe jetzt alles ausmultipliziert und zusammengefasst:



Dann kann ich noch die binomische
Formel zusammenfassen und den Rest mit 2ab ausklammern:



Dann durch 2ab teilen:



Hier weiß ich nicht weiter unglücklich

Alles zu einem Bruch zusammenfassen hat mir nicht geholfen und das x auf der rechten Seite ist noch im Weg verwirrt
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Dann quadrierst du das einfach so wie es steht, bekommst du eine (erst einmal) quadratische Gleichung in .
Zitat:
Original von HAL 9000
Oh, das Zusammenfassen der x-Terme rechts bringt schon eine enorme Vereinfachung - vor allem angesichts der Quadrierung, die danach noch ansteht!


Wie oft denn noch? Du musst beide Seiten quadrieren.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindUAusserdem ist und nicht immer das gleiche. Das gilt nur für . Für gilt .

Wenn es hier schon falsch bzw. unvollständig ist (1. Schritt oben):
Dann müsste man also alle 4 Möglichkeiten getrennt durchrechnen?

Wolfram Alpha gibt übrigens:

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Eher drei Fälle, da die Gleichungen mit dem Paar äquivalent zur Gleichung des Paares ist.

Aber da man sowieso quadriert, verliert man die Information sowieso sehr schnell. Daher am besten mal bisschen durchrechnen und nachher gucken, wann das Ergebnis eine Lösung bzw. nur Pseudolösung ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@willyengland

Ich weiß nicht, ob es unbedingt nützlich ist, so exzessiv auszumultiplizieren. Ausgehend von

Zitat:
Original von Philipp2706

bekommt man (korrigiert!)



und anschließend durch Quadrierung



Im Fall bedeutet dies dann

.

D.h., wenn es in diesem Fall überhaupt eine Lösung gibt, dann diese. Die Probe zeigt aber für viele Parameterkonstellationen , dass dies keine Lösung ist - "Schuld" daran ist dann eine der vielen nichtäquivalenten Quadrierungs-Umformungen, die hier stattgefunden haben.


Zu diskutieren wäre überdies noch, was im Fall passiert:

1) Im Fall sind offenkundig alle Lösungen.

2) Im Fall haben wir die Gleichung , die keine Lösung besitzt; analoges gilt für .

3) hätte laut (*) zur Folge , was wiederum auf die bereits diskutierten Fälle oder führt. Im Fall bekommt man hier in 3) also keine Lösung.


Summa summarum:

Zitat:
Im Fall sind alle Lösungen.

Im Fall ist (**) die einzige reelle Lösung, sofern dieser Wert die Probe erfüllt (!).

In allen anderen Fällen gibt es keine reelle Lösung.


Genauere Kriterien, für welche denn nun (**) tatsächlich die Probe besteht, scheinen ziemlich schwierig zu sein, das führt rasch zu ziemlich üblen Formeln, gegen die das oben eine lächerliche Fingerübung war:

Sicher ist, dass dann auf jeden Fall



gelten muss, da sonst die beiden Wurzeln links in der Originalgleichung gar nicht definiert sind.

EDIT: Falschen Faktor 2 in richtigen Faktor 4 geändert.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Danke HAL!
Für eine Schulaufgabe finde ich das ziemlich heftig.
Üblicherweise kommt doch was Einfaches raus.

Evtl. ist da irgendwo in der Aufgabe ein Fehler?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich hätte alles nachrechnen sollen, statt mich auf das falsche Zwischenresultat von Philipp2706 zu verlassen: Statt



muss es



heißen. Da ändert sich dann noch einiges, ich korrigiere es gleich oben.


Zitat:
Original von willyengland
Für eine Schulaufgabe finde ich das ziemlich heftig.

Womöglich ist es keine.

Zitat:
Original von willyengland
Evtl. ist da irgendwo in der Aufgabe ein Fehler?

Auch denkbar. Vielleicht ist auch der Parameterraum derart eingeschränkt, dass garantiert keine Lösung existiert, z.B. wäre das für der Fall. Augenzwinkern
Philipp2706 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal für eure Mühe. Freude

Die Aufgabe kommt aus einem Vorbereitungsbuch fürs Studium. Bei der Aufgabe steht keine Einschränkung oder Bemerkung.

Dann lass ich die Aufgabe wohl lieber aus Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Im folgenden Bild des Parameter-Rechtecks gibt ein schwarzer Punkt an, dass für das zugehörige die Gleichung eine Lösung hat, für weiße Punkte hingegen nicht.

[attach]45352[/attach]

Nette Struktur. Augenzwinkern
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL: Wow! Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht schön aus, ist aber leider falsch: Da war noch ein Bug in meinem C-Programm zur Erzeugung dieser Grafik (abs statt fabs verwendet Hammer ). Hier die korrigierte Grafik:

[attach]45355[/attach]

Es sieht also in weiten Teilen der -Ebene ziemlich dünn aus mit der Lösbarkeit der Gleichung. Augenzwinkern


EDIT: Wenn ich als Zwischenwerte auch komplexe Wurzeln (dann Hauptwert) zulasse, dann verbreitern sich die "Straßen" an einer Seite etwas:

[attach]45357[/attach]
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Geht man dieselbe a-b-Ebene mit verschiedenen x durch und schaut die Nullstellen der Funktion an, so wird es noch bunter:


[attach]45356[/attach]

Betragsmäßig große x lassen also durchaus einige Nullstellen mehr zu, die "grüne Wiese" wird größer.

Viele Grüße
Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da komme ich nicht mehr ganz mit: Reden wir hier immer noch von einer reellen Funktion? So hatte ich es oben aufgefasst, und für negative ist die Funktion dann gar nicht mehr definiert, und hat entsprechend da auch keine Nullstellen. verwirrt

Ich nehme also an, du operierst dann mit komplexen Wurzeln, oder wie sonst darf ich das verstehen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, in der Tat. Da über reell oder komplex keine Aussage getroffen war, hat's mich interessiert, wo der komplexe Betrag von f(x,a,b) zumindest sehr klein wird.

Interessanterweise scheint er für die Grafik aber doch nur unterhalb einer kleinen Grenze zu bleiben, wenn ich ihn auf Null festnageln will, bekomme ich auch nur (0;0;0) als Lösungstripel.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mal oben ergänzt, wie sich bei Zulassung komplexer Zwischenwerte bei den Wurzeln (dann aber immer nur Hauptwert) die Grafik ändert.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann auch von mir noch ein hübsches Bild:

[attach]45358[/attach]

Das "Lilane" in der Mitte sind die Funktionswerte f(100,a,b), deren komplexer Betrag kleiner als Eins ist. Die roten Berge haben dann etwa eine Höhe von 100.

PS: Bei der 3D-Darstellung vorher hatte ich übrigens, wie man sieht, nicht den Betrag eingestellt, dadurch ergeben sich auch negative Zahlen. Anscheinend wird, wenn der Realteil negativ ist, der Betrag invertiert. Und das Programm scheint die Darstellung auch gedreht zu haben, die "Berge" waren da noch woanders.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Laut dem Skript ist die Lösung so, wie im ersten Posting angegeben.

siehe: https://www.haw-hamburg.de/fileadmin/use...-vorkurs_FF.pdf
(Link von Philipp2706 mitgeteilt)

Aufgabe C8 c)
Lösungen hinten
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Aufgabe eine von vielen stumpfen Rechenaufgaben in einer Word-Datei sind, war der Sinn der Uebung sicherlich nur zu Quadrieren und dann zu isolieren -- ob es tatsächlich eine Lösung darstellt, ist wohl nebensächlich.

Wenigstens habe ich nicht den Eindruck, dass dem Aufgabensteller die Probleme der Scheinlösungen bewusst waren.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Also diese "Lösung" hier?

Zitat:
Original von Philipp2706
Das ist die Lösung:


Diesen Unsinn haben wir doch oben schon festgestellt, dass diese Lösungsdarstellung falsch ist - auch in den Fällen, wo es eine Lösung gibt. Forum Kloppe
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte die Darstellung gilt zumindest für ein paar Kombinationen von (schwarze Region deiner Bilder). Dann habe ich dich falsch verstanden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mich immer auf Darstellung (**) bezogen.
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