Wurzelgleichung auflösen

04.10.2017, 13:10

Philipp2706

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Wurzelgleichung auflösen

Hi,

smile

ich versuche seit Tagen folgende Aufgabe zu rechnen:
$\begin{eqnarray*} a*\sqrt{x+4ab}+b*\sqrt{x-4ab} = (a+b)*\sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$

Soweit habe ich es denke ich richtig:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2(x+4ab)}+\sqrt{b^2(x-4ab)}= \sqrt{(a+b)^2*(x+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{a^2(x+4ab)}+\sqrt{b^2(x-4ab)})^2=(\sqrt{(a+b)^2*(x+1)})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2(x+4ab) + 2*\sqrt{a^2(x+4ab)}*\sqrt{b^2(x-4ab})+ b^2(x-4ab)=(a+b)^2*(x+1) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich den Wurzelterm isoliert:

$\begin{eqnarray*} 2*\sqrt{a^2(x+4ab)}*\sqrt{b^2(x-4ab})=(a+b)^2*(x+1)-a^2(x+4ab)-b^2(x-4ab) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ab*\sqrt{(x+4ab)}*\sqrt{(x-4ab})=(a+b)^2*(x+1)-a^2(x+4ab)-b^2(x-4ab) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+4ab)}*\sqrt{(x-4ab})=\frac{(a+b)^2*(x+1)}{2ab}-\frac{a^2(x+4ab)}{2ab}-\frac{b^2(x-4ab)}{2ab} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle weiß ich nicht weiter. Ich denke dass ich einen der drei rechten Terme auf die linke Seite ziehen muss und nochmal die binomische Formel anwenden muss. Ich weiß allerdings nicht welchen. Ich hätte in jedem Fall 4er Potenzen und in der Lösung kommen nur 3er Potenzen vor verwirrt

verwirrt

Hammer

Das ist die Lösung:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{16a^3b^3}{(a+b)^2}-\frac{(a+b)^2}{4ab} \end{eqnarray*}$

04.10.2017, 14:19

IfindU

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Tu dir einen gefallen und vereinfache erst einmal die rechte Seite, indem du bisschen was ausmulitplizierst. Dann quadrierst du das einfach so wie es steht, bekommst du eine (erst einmal) quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Ausserdem ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt { a^2} \end{eqnarray*}$ nicht immer das gleiche. Das gilt nur für $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} a < 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a = - \sqrt { a^2 } \end{eqnarray*}$ .

04.10.2017, 17:45

HAL 9000

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Hmm, ich bin noch am rätseln: $\begin{align*} x \stackrel{?}{=} \frac{16a^3b^3}{(a+b)^2}-\frac{(a+b)^2}{4ab} \end{align*}$ ist mit Sicherheit falsch - tatsächlich gibt es für viele $\begin{align*} a,b \end{align*}$ keine reelle Lösung. Tatsächlich fällt es mir momentan schwer, überhaupt $\begin{align*} a,b \end{align*}$ mit reellen Lösungen anzugeben, vom Trivialfall $\begin{align*} a=b=0 \end{align*}$ mal abgesehen. verwirrt

verwirrt

EDIT: Doch, es gibt Paare $\begin{align*} (a,b)\neq (0,0) \end{align*}$ mit Lösungen. Ist aber nicht ohne. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.10.2017, 18:58

Philipp2706

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Danke erstmal für den Tipp mit dem ausmultiplizieren. Freude

Freude

Ich stecke allerdings schon wieder fest.

$\begin{eqnarray*} 2ab\sqrt{x+4ab}\sqrt{x-4ab} = a^2(x+1)+2ab(x+1)+b^2(x+1)-a^2(x+4ab)-b^2(x-4ab) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ und die binomische Formel ausklammern bringt mich nicht weiter und alles einzeln ausmultiplizieren bringt mir auch nicht viel. unglücklich

unglücklich

Weiß jemand weiter?

04.10.2017, 19:11

HAL 9000

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Oh, das Zusammenfassen der x-Terme rechts bringt schon eine enorme Vereinfachung - vor allem angesichts der Quadrierung, die danach noch ansteht! Am Ende bleibt dann nämlich sogar nur noch eine lineare Gleichung übrig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das viel größere Problem ist, dass die letztlich erreichte Lösungsformel in vielen Parameterkonstellationen nur eine Scheinlösung darstellt.

05.10.2017, 10:43

Philipp2706

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Ok ich habe jetzt alles ausmultipliziert und zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} 2ab\sqrt{x+4ab}\sqrt{x-4ab} = x*2ab + a^2 + 2ab +b^2 - 4a^3b * 4ab^3 \end{eqnarray*}$

Dann kann ich noch die binomische
Formel zusammenfassen und den Rest mit 2ab ausklammern:

$\begin{eqnarray*} 2ab\sqrt{x+4ab}\sqrt{x-4ab} = x*2ab + (a+b)^2 + 2ab (b^2-a^2) \end{eqnarray*}$

Dann durch 2ab teilen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+4ab}\sqrt{x-4ab} = x + \frac{(a+b)^2}{2ab} + (b^2-a^2) \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich nicht weiter unglücklich

unglücklich

Alles zu einem Bruch zusammenfassen hat mir nicht geholfen und das x auf der rechten Seite ist noch im Weg verwirrt

verwirrt

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05.10.2017, 10:46

IfindU

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Zitat:

Original von IfindU
Dann quadrierst du das einfach so wie es steht, bekommst du eine (erst einmal) quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von HAL 9000
Oh, das Zusammenfassen der x-Terme rechts bringt schon eine enorme Vereinfachung - vor allem angesichts der Quadrierung, die danach noch ansteht!

Wie oft denn noch? Du musst beide Seiten quadrieren.

05.10.2017, 11:09

willyengland

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Zitat:

Original von IfindUAusserdem ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt { a^2} \end{eqnarray*}$ nicht immer das gleiche. Das gilt nur für $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} a < 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a = - \sqrt { a^2 } \end{eqnarray*}$ .

Wenn es hier schon falsch bzw. unvollständig ist (1. Schritt oben):
Dann müsste man also alle 4 Möglichkeiten getrennt durchrechnen?

Wolfram Alpha gibt übrigens:

$\begin{eqnarray*} x =\frac{ 16 a^6 b^2 - 8 a^5 b + 32 a^4 b^4 - 16 a^4 b^2 + a^4 + 4 a^3 b + 16 a^2 b^6 + 16 a^2 b^4 + 6 a^2 b^2 + 8 a b^5 + 4 a b^3 + b^4} {a b (16 a^3 b - 4 a^2 - 16 a b^3 - 8 a b - 4 b^2)} \end{eqnarray*}$

05.10.2017, 11:51

IfindU

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Eher drei Fälle, da die Gleichungen mit dem Paar $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ äquivalent zur Gleichung des Paares $\begin{eqnarray*} (-a,-b) \end{eqnarray*}$ ist.

Aber da man sowieso quadriert, verliert man die Information sowieso sehr schnell. Daher am besten mal bisschen durchrechnen und nachher gucken, wann das Ergebnis eine Lösung bzw. nur Pseudolösung ist.

05.10.2017, 12:46

HAL 9000

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@willyengland

Ich weiß nicht, ob es unbedingt nützlich ist, so exzessiv auszumultiplizieren. Ausgehend von

Zitat:

Original von Philipp2706
$\begin{eqnarray*} 2ab\sqrt{x+4ab}\sqrt{x-4ab} = x*2ab + (a+b)^2 + 2ab (b^2-a^2) \end{eqnarray*}$

bekommt man (korrigiert!)

$\begin{align*} 2ab\sqrt{x^2-16a^2b^2} = 2abx + (a+b)(a+b+4ab(b-a)) \end{align*}$

und anschließend durch Quadrierung

$\begin{align*} 4a^2b^2(x^2-16a^2b^2) &= 4a^2b^2x^2 + 4abx(a+b)(a+b+4ab(b-a)) + (a+b)^2(a+b+4ab(b-a))^2<br /> -4abx(a+b)(a+b+4ab(b-a)) &= (a+b)^2(a+b+4ab(b-a))^2 + 64a^4b^4\qquad (*) \end{align*}$

Im Fall $\begin{align*} ab(a+b)(a+b+2ab(b-a))\neq 0 \end{align*}$ bedeutet dies dann

$\begin{align*} x &= -\frac{(a+b)^2(a+b+4ab(b-a))^2 + 64a^4b^4}{4ab(a+b)(a+b+4ab(b-a))}\qquad (**) \end{align*}$ .

D.h., wenn es in diesem Fall überhaupt eine Lösung gibt, dann diese. Die Probe zeigt aber für viele Parameterkonstellationen $\begin{align*} a,b \end{align*}$ , dass dies keine Lösung ist - "Schuld" daran ist dann eine der vielen nichtäquivalenten Quadrierungs-Umformungen, die hier stattgefunden haben.

Zu diskutieren wäre überdies noch, was im Fall $\begin{align*} ab(a+b)(a+b+4ab(b-a))=0 \end{align*}$ passiert:

1) Im Fall $\begin{align*} a=0,b=0 \end{align*}$ sind offenkundig alle $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ Lösungen.

2) Im Fall $\begin{align*} a\neq 0,b=0 \end{align*}$ haben wir die Gleichung $\begin{align*} a\sqrt{x} = a\sqrt{x+1} \end{align*}$ , die keine Lösung besitzt; analoges gilt für $\begin{align*} a=0,b\neq 0 \end{align*}$ .

3) $\begin{align*} (a+b)(a+b+4ab(b-a))=0 \end{align*}$ hätte laut (*) zur Folge $\begin{align*} 0 = 64a^4b^4 \end{align*}$ , was wiederum auf die bereits diskutierten Fälle $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ oder $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ führt. Im Fall $\begin{align*} a\neq 0,b\neq 0 \end{align*}$ bekommt man hier in 3) also keine Lösung.

Summa summarum:

Zitat:

Im Fall $\begin{align*} a=0,b=0 \end{align*}$ sind alle $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ Lösungen.

Im Fall $\begin{align*} ab(a+b)(a+b+4ab(b-a))\neq 0 \end{align*}$ ist (**) die einzige reelle Lösung, sofern dieser Wert die Probe erfüllt (!).

In allen anderen Fällen gibt es keine reelle Lösung.

Genauere Kriterien, für welche $\begin{align*} a,b \end{align*}$ denn nun (**) tatsächlich die Probe besteht, scheinen ziemlich schwierig zu sein, das führt rasch zu ziemlich üblen Formeln, gegen die das oben eine lächerliche Fingerübung war:

Sicher ist, dass dann auf jeden Fall

$\begin{align*} x = -\frac{(a+b)^2(a+b+4ab(b-a))^2 + 64a^4b^4}{4ab(a+b)(a+b+4ab(b-a))} \stackrel{!}{\geq} 4|ab| \end{align*}$

gelten muss, da sonst die beiden Wurzeln links in der Originalgleichung gar nicht definiert sind.

EDIT: Falschen Faktor 2 in richtigen Faktor 4 geändert.

05.10.2017, 13:00

willyengland

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Danke HAL!
Für eine Schulaufgabe finde ich das ziemlich heftig.
Üblicherweise kommt doch was Einfaches raus.

Evtl. ist da irgendwo in der Aufgabe ein Fehler?

05.10.2017, 13:06

HAL 9000

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Hmm, ich hätte alles nachrechnen sollen, statt mich auf das falsche Zwischenresultat von Philipp2706 zu verlassen: Statt

$\begin{align*} 2ab\sqrt{x+4ab}\sqrt{x-4ab} \stackrel{?}{=} x\cdot 2ab + (a+b)^2 + {\color{red}2}ab(b^2-a^2) \end{align*}$

muss es

$\begin{align*} 2ab\sqrt{x+4ab}\sqrt{x-4ab} = x\cdot 2ab + (a+b)^2 + {\color{red}4}ab(b^2-a^2) \end{align*}$

heißen. Da ändert sich dann noch einiges, ich korrigiere es gleich oben.

Zitat:

Original von willyengland
Für eine Schulaufgabe finde ich das ziemlich heftig.

Womöglich ist es keine.

Zitat:

Original von willyengland
Evtl. ist da irgendwo in der Aufgabe ein Fehler?

Auch denkbar. Vielleicht ist auch der Parameterraum derart eingeschränkt, dass garantiert keine Lösung existiert, z.B. wäre das für $\begin{align*} b\geq a > 0 \end{align*}$ der Fall. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.10.2017, 18:47

Philipp2706

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Vielen Dank erstmal für eure Mühe. Freude

Freude

Die Aufgabe kommt aus einem Vorbereitungsbuch fürs Studium. Bei der Aufgabe steht keine Einschränkung oder Bemerkung.

Dann lass ich die Aufgabe wohl lieber aus Big Laugh

Big Laugh

05.10.2017, 19:58

HAL 9000

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Im folgenden Bild des Parameter-Rechtecks $\begin{align*} M = [-8,8]\times [-4.5,4.5] \end{align*}$ gibt ein schwarzer Punkt an, dass für das zugehörige $\begin{align*} (a,b)\in M \end{align*}$ die Gleichung eine Lösung hat, für weiße Punkte hingegen nicht.

[attach]45352[/attach]

Nette Struktur. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.10.2017, 21:16

willyengland

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@HAL: Wow! Freude

Freude

06.10.2017, 09:34

HAL 9000

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Sieht schön aus, ist aber leider falsch: Da war noch ein Bug in meinem C-Programm zur Erzeugung dieser Grafik (abs statt fabs verwendet Hammer

Hammer

). Hier die korrigierte Grafik:

[attach]45355[/attach]

Es sieht also in weiten Teilen der $\begin{align*} (a,b) \end{align*}$ -Ebene ziemlich dünn aus mit der Lösbarkeit der Gleichung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Wenn ich als Zwischenwerte auch komplexe Wurzeln (dann Hauptwert) zulasse, dann verbreitern sich die "Straßen" an einer Seite etwas:

[attach]45357[/attach]

06.10.2017, 10:58

Steffen Bühler

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Geht man dieselbe a-b-Ebene mit verschiedenen x durch und schaut die Nullstellen der Funktion $\begin{align*} f(x,a,b)=a \cdot \sqrt{x+4ab}+b \cdot \sqrt{x-4ab} -(a+b) \cdot \sqrt{x+1} \end{align*}$ an, so wird es noch bunter:

[attach]45356[/attach]

Betragsmäßig große x lassen also durchaus einige Nullstellen mehr zu, die "grüne Wiese" wird größer.

Viele Grüße
Steffen

06.10.2017, 11:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Da komme ich nicht mehr ganz mit: Reden wir hier immer noch von einer reellen Funktion? So hatte ich es oben aufgefasst, und für negative $\begin{align*} x \end{align*}$ ist die Funktion $\begin{align*} f(x,a,b) \end{align*}$ dann gar nicht mehr definiert, und hat entsprechend da auch keine Nullstellen. verwirrt

verwirrt

Ich nehme also an, du operierst dann mit komplexen Wurzeln, oder wie sonst darf ich das verstehen?

06.10.2017, 11:21

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, in der Tat. Da über reell oder komplex keine Aussage getroffen war, hat's mich interessiert, wo der komplexe Betrag von f(x,a,b) zumindest sehr klein wird.

Interessanterweise scheint er für die Grafik aber doch nur unterhalb einer kleinen Grenze zu bleiben, wenn ich ihn auf Null festnageln will, bekomme ich auch nur (0;0;0) als Lösungstripel.

06.10.2017, 11:40

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mal oben ergänzt, wie sich bei Zulassung komplexer Zwischenwerte bei den Wurzeln (dann aber immer nur Hauptwert) die Grafik ändert.

06.10.2017, 12:16

Steffen Bühler

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Dann auch von mir noch ein hübsches Bild:

[attach]45358[/attach]

Das "Lilane" in der Mitte sind die Funktionswerte f(100,a,b), deren komplexer Betrag kleiner als Eins ist. Die roten Berge haben dann etwa eine Höhe von 100.

PS: Bei der 3D-Darstellung vorher hatte ich übrigens, wie man sieht, nicht den Betrag eingestellt, dadurch ergeben sich auch negative Zahlen. Anscheinend wird, wenn der Realteil negativ ist, der Betrag invertiert. Und das Programm scheint die Darstellung auch gedreht zu haben, die "Berge" waren da noch woanders.

06.10.2017, 14:53

willyengland

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Laut dem Skript ist die Lösung so, wie im ersten Posting angegeben.

siehe: https://www.haw-hamburg.de/fileadmin/use...-vorkurs_FF.pdf
(Link von Philipp2706 mitgeteilt)

Aufgabe C8 c)
Lösungen hinten

06.10.2017, 15:00

IfindU

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Da die Aufgabe eine von vielen stumpfen Rechenaufgaben in einer Word-Datei sind, war der Sinn der Uebung sicherlich nur zu Quadrieren und dann $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu isolieren -- ob es tatsächlich eine Lösung darstellt, ist wohl nebensächlich.

Wenigstens habe ich nicht den Eindruck, dass dem Aufgabensteller die Probleme der Scheinlösungen bewusst waren.

06.10.2017, 17:54

HAL 9000

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Also diese "Lösung" hier?

Zitat:

Original von Philipp2706
Das ist die Lösung:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{16a^3b^3}{(a+b)^2}-\frac{(a+b)^2}{4ab} \end{eqnarray*}$

Diesen Unsinn haben wir doch oben schon festgestellt, dass diese Lösungsdarstellung falsch ist - auch in den Fällen, wo es eine Lösung gibt. Forum Kloppe

Forum Kloppe

06.10.2017, 17:57

IfindU

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Ich dachte die Darstellung gilt zumindest für ein paar Kombinationen von $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ (schwarze Region deiner Bilder). Dann habe ich dich falsch verstanden.

06.10.2017, 18:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mich immer auf Darstellung (**) bezogen.

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