Taylorreihen-Problem

01.09.2004, 22:47	iamone	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihen-Problem Hallo Leute, mein Problem ist eigentlich relativ simpel, aber ihr kennt bestimmt Situationen wo einem dieser letzte klitze-kleine Rest fehlt und man bleibt gnadenlos Stecken. Meine Aufgabe lautet (vorerst): eine geschlossene Form für beliebige Ableitungen der Funktion g : x --> $\begin{eqnarray} \sqrt{3+2x} \end{eqnarray}$ zu finden. Bin mit Taylor ganz gut vertraut, aber es sind nun mal die kleinen Dinge, an den es oft scheitert.
01.09.2004, 23:13	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei solchen Dingen klappt es oft sehr gut, zuerst die Funktion drei- viermal abzuleiten, dann eine Vermutung über die geschlossene Form aufzustellen um diese letztendlich mittels vollständiger Induktion zu beweisen. Ich will ein Besen fressen, wenn es in diesem Fall anders laufen sollte.
01.09.2004, 23:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihen-Problem Hi, also wenn ich das richtig verstanden hab (mit geschlossener Form und so), dann willst du die n-te Ableitung in Abhängigkeit von n und natürlich x. Versuch es doch erstmal mit den ersten: $\begin{eqnarray} g(x)=(3+2x)^{0,5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'(x)=0,5\cdot (3+2x)^{-0,5}\cdot 2 = (3+2x)^{-0,5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g''(x) = -0,5\cdot (3+2x)^{-1,5}\cdot 2 = -(3+2x)^{-1,5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'''(x) = --1,5\cdot (3+2x)^{-2,5} \cdot 2 = 3\cdot (3+2x)^{-2,5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g^{(4)}(x) = -2,5\cdot 3\cdot (3+2x)^{-3,5}\cdot 2 = -15\cdot (3+2x)^{-3,5} \end{eqnarray}$ jetzt versucht man ne Regel zu finden. Erstmal für das wichtigste, da gilt wohl für $\begin{eqnarray} g^{(n)} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} (3+2x)^{0,5-n} \end{eqnarray}$ und dann guckt man sich die Faktoren an, da hast du immer die 2 als innere Ableitung und den Exponenten von davor, und die Exponenten und 2en von den Ableitungen davor auch noch, also gilt offensichtlich: $\begin{eqnarray} g^{(n)}(x)=(3+2x)^{0,5-n}\cdot 2^n\cdot \prod\limits_{i=0}^{n-1}(0,5-i)=(3+2x)^{0,5-n}\cdot \prod\limits_{i=0}^{n-1}(1-2i)=(-1)^n\cdot (3+2x)^{0,5-n}\cdot \prod\limits_{i=0}^{n-1}(2i-1) \end{eqnarray}$ Leider klappt das mit dem Produkt nicht für n=0, also für die 0-te Ableitung, was ja deine Ausgangsfunktion is und deswegen auch nich so schlimm. Überprüfe bitte an den vier Beispielen, ob ich alles richtig gemacht habe! Dass das so stimmt, beweist du mit vollständiger Induktion! Ich hoffe, das hilft dir
01.09.2004, 23:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} g^{(k)}(x)=(-1)^{k-1} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3) \cdot (3+2x)^{-\frac{2k-1}{2}} \mbox{ für } \ k \geq 1 \end{eqnarray}$ Für k=1 ist das Produkt leer und als 1 zu interpretieren.
01.09.2004, 23:54	iamone	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Hilfe Leute. Hätte ich nicht gedacht, daß es so fix geht! In der Zwischenzeit bin ich sogar selber zum Ergebnis von Mathespezialschüler gelangt. Das Forum scheint auch telepatisch zu funktionieren! (vielleicht lag es aber auch an der kleinen Pause, die ich mir gegönnt hab ) Ich dachte noch eventuell, daß man das Problem auch ohne das Produkt lösen kann, das ist mir jedoch nicht gelungen. Ich bin jetzt voll in der Klausurenvorbereitung für die Uni, das nächste Problem wird also nicht lange auf sich warten lassen, jetzt weiß ich aber, wo ich Hilfe bekomme! Dann bis zur nächsten Mathekriese. Gruß, iamone

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