Würfelwahrscheinlichkeiten

05.10.2017, 00:29

kalle3000

Würfelwahrscheinlichkeiten

Meine Frage:
Es wird 4 mal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Zahl kleiner als 14 zu würfeln unter der Bedingung dass ein Würfel eine 3 ist?

Meine Ideen:
4 Mal Würfeln heisst es gibt $\begin{eqnarray*} 6^4=1296 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Aber was mache ich mit der Bedingung, die kann ja bei im Prinzip fuer jeden der 4 Würfe gelten. Zusätzlich weiss ich noch das die drei anderen Würfe zusammen 11 Augen ergeben müssen. Aber wie gehe ich da jetzt weiter vor.

05.10.2017, 08:29

HAL 9000

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Ich verstehe die Aufgabenstellung so:

Zitat:

Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für Würfelaugensumme kleiner als 14 unter der Bedingung, dass unter den vier Augenzahlen mindestens eine 3 ist?

Das ganze ist eine Laplacesche Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} p = \frac{r}{s} \end{align*}$ , dabei ist $\begin{align*} s \end{align*}$ die Anzahl aller Wurffolgen mit mindestens einer 3, und $\begin{align*} r \end{align*}$ darunter die Anzahl solcher Folgen mit Augensumme kleiner 14.

$\begin{align*} s \end{align*}$ ist noch relativ einfach berechenbar, einfach $\begin{align*} s=6^4-5^4 = 671 \end{align*}$ , man subtrahiert einfach die Anzahl aller Wurffolgen ohne eine 3 (d.h. nur bestehend aus 1,2,4,5,6).

Bei $\begin{align*} r \end{align*}$ wird es komplizierter, es gibt verschiedene Möglichkeiten des Zugangs: Z.B. direkt abzählen oder aber ähnlich wie gerade eben durch Subtraktion aller solcher Möglichkeiten minus derer, die keine 3 enthalten. Such dir aus, was dir eher zusagt.

EDIT: Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung von $\begin{align*} r \end{align*}$ : Es bezeichne

$\begin{align*} A_i \end{align*}$ ... Menge aller 4er-Wurffolgen mit Summe <14, die an Stelle $\begin{align*} i \end{align*}$ eine 3 haben.

Dann ist $\begin{align*} r = \left|A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\right| \end{align*}$ , berechenbar über Siebformel, was angesichts der hier vorherrschenden Symmetrien zu

$\begin{align*} r = \binom{4}{1}\left|A_1\right|-\binom{4}{2}\left|A_1\cap A_2\right|+\binom{4}{3}\left|A_1\cap A_2\cap A_3\right|-\binom{4}{4}\left|A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4\right| = 4r_3-6r_2+4r_1-r_0 \end{align*}$

mit

$\begin{align*} r_k \end{align*}$ ... Anzahl aller $\begin{align*} k \end{align*}$ -Wurffolgen mit Summe $\begin{align*} < 14-3(4-k)= 2+3k \end{align*}$

führt. Zur Bestimmung der $\begin{align*} r_k \end{align*}$ kann man z.B. auf den Thread zurückgreifen.

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