Windungszahlen/ Satz von Rouché

05.10.2017, 16:44	alina94	Auf diesen Beitrag antworten »
Windungszahlen/ Satz von Rouché Hey, Ich habe hier eine Zeile im Beweis vom Satz von Rouché, bei der ich eine Gleichung nicht nachvollziehen kann, und zwar: $\begin{eqnarray} N - P = \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma} \! \frac{h'(\xi)}{h(\xi)} \, d\xi = \frac{1}{2 \pi i} \int_{h \circ \Gamma} \! \frac{1}{\xi} \, d\xi = n(0, h \circ \Gamma) = 0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ die meromorphe Funktion $\begin{eqnarray} h = \frac{f}{g} \end{eqnarray}$ bezeichnet mit $\begin{eqnarray} \|f(z) - g(z)\| < \|f(z)\| + \|g(z)\| \forall z \in tr(\Gamma) \end{eqnarray}$ auf einem Gebiet $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ einen nullhomologen Zyklus in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ mit Windungszahlen $\begin{eqnarray} n(z, \Gamma) = 1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} n(z, \Gamma) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} z \in G \setminus tr(\Gamma) \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ die Nullstellen und $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ die Polstellen von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ . Die ersten 3 Gleichungen sind mir klar, aber ich habe keine Idee wieso die Windungszahl am Ende dann Null sein muss. Also vermutlich folgt das eben aus den Windungszahlen bezüglich $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ aber im Skript finde ich keine Aussage darüber, was aus Windungszahlen bezüglich eines Zyklus für Windungszahlen bezüglich einer Verknüpfung einer Funktion mit dem Zyklus folgt. Ich wäre wieder dankbar für jeden Tipp an der Stelle
14.10.2017, 15:54	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich weiß nicht, welche Formulierung des Satzes von Rouché du verwendest (hast du ja nicht angegeben ), ich gehe einfach mal von der stärksten mir bekannten (also mit schwächsten Voraussetzungen aus). Nach diesen gilt $\begin{eqnarray} \|f(z)-g(z)\|<\|f(z)\|+\|g(z)\| \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auf der Spur von $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ . Das bedeutet $\begin{eqnarray} \|1-h(z)\|<1+\|h(z)\| \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \|1+(-h(z))\| < 1+ \|-h(z)\| \end{eqnarray}$ für jene $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Nun gilt in der Dreiecksungleichung genau dann Gleichheit, wenn die Summanden positiv linear abhängig sind. Das heißt, dass $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ auf der Spur von $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ keine reell negativen Werte annehmen kann, insbesondere schneidet der Weg $\begin{eqnarray} h\circ\Gamma \end{eqnarray}$ die negative $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse nicht. Natürlich kann sich dann dieser Weg nicht um die Null winden. Das ist die Anschauung dahinter. Etwas formaler sieht man, dass $\begin{eqnarray} \operatorname{Spur}(\Gamma)\subset \Omega := h^{-1}(\mathbb C\setminus (-\infty,0]) \end{eqnarray}$ . Auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \operatorname{Log}\circ h \end{eqnarray}$ wohldefiniert und holomorph für den Hauptzweig $\begin{eqnarray} \operatorname{Log} \end{eqnarray}$ des Logarithmus. Diese Funktion ist aber eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} h'/h \end{eqnarray}$ , das bedeutet, dass das Integral über $\begin{eqnarray} h'/h \end{eqnarray}$ auf jedem Zykel in $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ verschwindet.

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