Umformung

05.10.2017, 20:23

Kaidan

Umformung

Guten Abend zusammen.
Gegeben sei der Term: $\begin{eqnarray*} \frac{1-e^{ikNXD}}{1-e^{ikXD}} \end{eqnarray*}$ . Ich würde diesen Term gerne in Form von Sinusen, Cosinusen, usw. schreiben (jede trigonometrische Funktion ist in Ordnung). Laut Assistenten soll dies wohl mit Hilfe von schlauem erweitern möglich sein, aber ich schaffe es nicht sowohl Zähler als auch Nenner in die Form zu bringen.

Erweitere ich z.B. mit $\begin{eqnarray*} e^{-ikXD/2} \end{eqnarray*}$ so erhalte ich: $\begin{eqnarray*} \frac{e^{ikDX/2} - e^{ikDX(N+\frac{1}{2})}}{\underbrace{e^{-ikXD/2}-e^{ikXD/2}}_{-2i\sin(ikXD/2)}} \end{eqnarray*}$ , aber was mache ich dann mit dem Zähler?

Irgendwie sehe ich da nicht wirklich eine schlaue Erweiterung, die gleich beide "Probleme löst"

Kaidan

05.10.2017, 20:49

HAL 9000

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Wende denselben Kniff in Zähler wie Nenner an, d.h.

$\begin{align*} \frac{1-e^{ikNXD}}{1-e^{ikXD}} = \frac{e^{ikNXD/2}}{e^{ikXD/2}}\cdot \frac{e^{ikNXD/2}-e^{-ikNXD/2}}{e^{ikXD/2}-e^{-ikXD/2}} = e^{ik(N-1)XD/2} \cdot \frac{\sin(kNXD/2)}{\sin(kXD/2)} = \ldots \end{align*}$

05.10.2017, 21:36

Kaidan

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Zuerst mal vielen Dank für den Tipp.

Deine Umformung kann ich soweit nachvollziehen, aber das Gleichheitszeichen und die Pünktchen verwirren mich etwas. Möchtest du mir damit sagen, dass es noch möglich ist den dort stehenden Term weiter umzuformen um den Faktor vor dem Bruch loszuwerden? verwirrt

Falls ja, muss ich leider zugeben etwas ratlos zu sein wie das gehen soll...

06.10.2017, 22:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kaidan
Möchtest du mir damit sagen, dass es noch möglich ist den dort stehenden Term weiter umzuformen

Eigentlich sollte das nur andeuten, dass der Exponentialterm vor dem Bruch noch mit Sinus und Kosinus geschrieben werden kann, ganz normal über die Eulersche Formel.

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