Exponentialfunktion - Definition

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Steffko89 Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion - Definition
Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Frage zur Exponentialfunktion und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann. Es geht darum, dass man die e-Funtion offensichtlich auch als eine Potenzreihe definieren kann.

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion

(Unter Punkt Definition)

Nun ist meine Frage wieso es für die e-Funktion überhaupt eine solche Definition braucht. Ich meine die eulersche Zahl ist ja schon als die Summe von 1/n! (mit n = 0 bis unendlich) definiert. Und die Funktion F(x)=e hoch x sagt doch schon alles aus.

Ich verstehe einfach nicht den Sinn hinter der Definition als Potenzreihe. Kann mir das vielleicht jemand erklären?

Vielen Dank.

Meine Ideen:
Ehrlich gesagt habe ich dazu keinerlei Ideen. Mir ist nicht klar warum man in dieser Definition noch beliebige Werte für x einsetzen kann/soll?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Matheboard!

Wenn du nur die Definition hast, stellt sich z.B. die Frage, wie du überhaupt die Potenz für irrationale x definieren willst (bzw. allgemeiner mit ).

Das macht man nämlich oft mit . Dazu braucht man aber erst einmal die Exponentialfunktion und deren Umkehrfunktion .
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bei Euler z.B. Sei irrational. Waehle eine rationale Folge mit . Definiere dann .
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die ursprüngliche Definition der Exponentialfunktion lautet wie folgt:

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Definion:
Die Exponetialfunktion ist die Lösung der Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung y(0)=1.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Die Motivation für diese Differentialgleichung besteht darin, dass sie in der Natur sehr oft vorkommt. Leider lässt sich die Lösung nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Deshalb machte man einen Reihen-Ansatz . Durch Einsetzen in die Differentialgleichung und Koeffizientenvergleich kommt man auf die Lösung



Da diese Funktion wie gesagt in der Natur und Technik sehr oft vorkommt, erfand man eine Abkürzung - nämlich und gab ihr den Namen "Exponentialfunktion". Somit war eine neue Funktion geboren.

Die Sinus- und Kosinusfunktion werden übrigens ganz ähnlich als Lösungen von Differentialgleichungen definiert (Siehe z.B. das Buch "Höhere Analysis" von Hans Triebel)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
Da diese Funktion wie gesagt in der Natur und Technik sehr oft vorkommt, erfand man eine Abkürzung - nämlich

Das sehe ich etwas anders: Man erfand die Abkürzung .

Und dann kann man nachweisen, dass gilt, wobei die Potenz mit beliebigen reellen Exponent erstmal eingeführt werden muss (wie so oft zunächst über ganzzahlige, dann rationale Exponenten, und dann mit Monotonie-/Stetigkeitsargumenten auch für beliebige reelle Exponenten). Wie man dieses dabei definiert - Geschmackssache, sei es per oder , man kann schließlich eins ins andere überführen.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Hal 9000,
Du hast recht. Man muss natürlich noch beweisen, dass die Reihe eine Potenzfunktion ist, deren Basis Eulerschen Zahl e ist.
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vielleicht noch mal zur Frage "Wozu braucht man Potenzreihen?"

Also erstmal:
Die Ableitung erlernt man ja in aller Regel zunächst anhand von Polynomen und der sog. "Hut-ab-Regel" (x^n)' = nx^(n-1) für natürliches n (> 0).
Wenn dann die anderen Funktionen wie e-Funktion, Sinus, Cosinus dazukommen, braucht man die Produktregel und die Kettenregel, schlimmstenfalls auch noch die Quotientenregel, und alles wird viel schwieriger
Nun haben wir hier die e-Funktion als Potenzreihe, also quasi als "unendliches Polynom". Und der Witz ist: Gehen wir nun her und leiten die Potenzreihe der e-Funktion mit der "Hut-ab-Regel" ab, so kommt wieder die e-Funktion heraus. (Sie löst also tatsächlich die DGL y'=y.) Man muss mathematisch freilich erst noch beweisen, dass man gliedweise differenzieren darf , aber trotzdem hat das für mich damals so ein wenig die Frage "Wozu Potenzreihen?" beantwortet.

Zum Zweiten:
Ich weiß nicht, inwiefern du @Ehos schon in den komplexen Zahlen unterwegs warst - es gilt ja für alle komplexen z die Euler'sche Gleichung

die insbesondere für reelles z den cartesischen Wert (also Real- und Imaginärteil) der komplexen e-Funktion mit rein imaginärem Argument angibt.
Der Standardbeweis dieser Gleichung geht über die Potenzreihe. Im Summanden ((ix)^n)/(n!) überlegt man sich, welche Werte i^n überhaupt annehmen kann und teilt die Reihe entsprechend in vier Teilreihen auf, von denen man die reellen und die imaginären wieder jeweils zusammenfasst - und siehe da: sie entpuppen sich als die Reihen von Sinus und Cosinus.

Zum Dritten:
Da man von der Lern-Reihenfolge her in aller Regel die e-Funktion vor Potenzreihen kennengelernt haben wird, ist für y'=y die Exponentialreihe aus meiner Sicht mehr von theoretischem als von praktischem Interesse. Wenn man sich aber eine DGL ansieht wie etwa
,
so wäre ein Potenzreihenansatz (also: für y eine Potenzreihe einsetzen und ab dafür - a_0 beliebig bzw. gemäß Anfangswert wählen und dann eine Rekursionsformel aufstellen) eine ziemlich geeignete Möglichkeit, das Teil zu knacken.

Potenzreihenansätze sind aber ätzend, wenn y^2 oder sowas in der DGL vorkommt. Nervige Cauchyprodukte bilden und die Rekursionsformel wird dann nicht gerade ästhetisch ansehnlich...

Grüße,
sibelius84
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sibelius84
wie etwa , so wäre ein Potenzreihenansatz (also: für y eine Potenzreihe einsetzen und ab dafür - a_0 beliebig bzw. gemäß Anfangswert wählen und dann eine Rekursionsformel aufstellen) eine ziemlich geeignete Möglichkeit, das Teil zu knacken.

Da hast du dir aber ein denkbar schlechtes Beispiel ausgesucht: Diese DGL besitzt keine Lösung, die lokal bei durch einen Potenzreihenansatz darstellbar ist.

Andere Lösungen schon, wie z.B. .
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Oha... thanks for the tip... ich hatte erst oder so, glaube ich, und dachte mir dann, ach nee, ist ja ne Euler'sche, die man mit einer geeigneten Substitution lösen kann - also lieber überall noch mal einen draufhauen Freude Big Laugh

Ich denke, generell sind Potenzreihenansätze gut geeignet, wenn die Koeffizienten vor den einzelnen Ableitungen Potenzen sind, oder? Dann verschmilzt das so schön.

Funktionentheorie ist eh viel schöner, da wäre ja 5/(3x) eine Laurentreihe um 0 mit genau einem Glied ungleich Null Augenzwinkern
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