Rationale Zahlen und ggT : Pi, Wurzel 2 und e

06.10.2017, 12:30	FinalBossCrypto	Auf diesen Beitrag antworten »
Rationale Zahlen und ggT : Pi, Wurzel 2 und e Hallo, habe da noch eine kleine Frage aus der Klausur neulich: *Warum gilt $\begin{eqnarray} ggt(\sqrt{2},\Pi) = e \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ?* Ich habe absolut keine Idee wie ich mit Hilfe der ggT Rechenregeln von Wurzel 2 und Pi auf e kommen soll. (de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fter_gemeinsamer_Teiler#Rechenregeln) Hat es irgendwas damit zu tun dass $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ein Körper ist? Und somit jede Zahl jede andere teilt? (Wenn ich mich recht erinnere)
06.10.2017, 12:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rationale Zahlen und ggT : Pi, Wurzel 2 und e Seien $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ drei beliebige reelle Zahlen alle ungleich 0. Dann gilt $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(x,y) = z \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Das liegt daran, dass $\begin{eqnarray} z \| x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \| y \end{eqnarray}$ . Und dass jeder weiterer Teiler von $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ teilt. Der ggT ist hier also nicht eindeutig und jede Zahl (ausser der 0) ist ein ggT von $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ .
06.10.2017, 14:06	FinalBossCrypto	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal. Ich war auch bis $\begin{eqnarray} z\|x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z\|y \end{eqnarray}$ . Dass jeder Teiler von x und y dann auch z teilt, verstehe ich auch noch. Aber ich sehe noch nicht ganz den Punkt, warum dass dan nicht eindeutig ist Ich kann es natürlich einfach akzeptieren, aber würde gerne die mathematischen Annahmen dahinter verstehen: Wenn $\begin{eqnarray} z\|x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z\|y \end{eqnarray}$ gilt, folgt ja: $\begin{eqnarray} x=za_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=za_2 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} a_1, a_2 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Umformen dieser Gleichungen nach $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ gibt immer eine Lösung, egal welche Zahlen man einsetzt. Und dass ist der Grund warum man sagen kann, jede Zahl teilt jede Zahl? Und somit dass $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ ggT von $\begin{eqnarray} \Pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ist?
06.10.2017, 14:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein ggT von $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ ist definiert als $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ so dass (a) $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ teilt sowohl $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ (b) Jede weitere Zahl $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ welche $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ teilt, teilt $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . (a) sagt $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ist ein Teiler, (b) sagt es ist im Sinne der Teilbarkeit die größte Zahl mit der Eigenschaft. Daher der Name größter gemeinsamer Teiler. Man kann nachrechnen, dass für $\begin{eqnarray} x = \sqrt 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = \pi \end{eqnarray}$ die Zahl $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ die Eigenschaften (a) und (b) erfüllt. Außerdem kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray} -100 \end{eqnarray}$ ebenfalls Eigenschaften (a) und (b) erfüllt. Beide sind also ggT's, offenbar ist $\begin{eqnarray} e \neq -100 \end{eqnarray}$ , also ist der ggT nicht eindeutig.
06.10.2017, 14:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In jedem Ring ist der ggT(a,b) nur bis auf Einheiten eindeutig. Da in einem Körper alle von 0 verschiedenen Elemente Einheiten sind, ist es mit der Eindeutigkeit nicht weit her.
06.10.2017, 14:47	FinalBossCrypto	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Euch beiden. Habe es hoffentlcih verstanden
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