Keine rationale Lösung

Neue Frage »

rationale Lösung Auf diesen Beitrag antworten »
Keine rationale Lösung
Hallo liebes Forum,
folgende Aufgabe habe ich gegeben:
Ich soll indirekt beweisen, dass folgende Gleichung keine rationale Lösung besitzt.
Meine Ideen:
Ich gehe also davon aus, dass es eine rationale Lösung gibt, also mit und ggT(m,n)=1

Das in Gleichung eingesetzt:

Dann


Wie komme ich da jetzt weiter?
fdsaf Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

was hast du denn zur Verfügung?
Du möchtest zeigen, dass keine rationalen Nullstellen hat.
Daher das Polynom irreduzibel über ist.
Kennst du Irreduzibilitätskriterien?

Alternativ:
Wenn es eine rationale Nullstelle gibt, dann müsste man das Polynom zerlegen können. So eine Zerlegung würde wie folgt aussehen:



Mache einen Koeffizientenvergleich. Dieser sollte zu einem Widerspruch führen.
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte erst 1 Vorlesung. Das Irreduzibilitätskriterium hatten wir noch nicht.

In der Aufgabe soll ich es irgendwie mit x=m/n beweisen?
fdsaf Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dann ist das aus einer Anfängervorlesung, also Analysis I oder Lineare Algebra I?

Du hast jetzt



(da ist dir ein Tippfehler passiert)

Welche Beziehung besteht nun zwischen n und m?
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Js genau. Analysis 1
Also es gilt doch ggT(m,n)=1 und dann?
fdsaf Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ggT(n,m)=1 kannst du ohne Einschränkung annehmen.
(Denn wenn es nicht gilt, könntest du einfach kürzen)

ggT(n,m)=1 sagt aus, dass n und m teilerfremd sind.

Nun hast du aber

Was steckt in dieser Gleichheit drin?
 
 
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Das n auf der rechten seite teilt das m auf der linken. Meinst du sowas?
fdsaf Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sowas meine ich.
Stimmt das denn überhaupt? Wenn ja, warum?
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Egtl kann ja das n der rechten Seite nicht das m auf links teilen, weil sie ja teilerfremd sind
fdsaf Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Das ist ja gerade der Widerspruch den wir erhalten wollen.

Wir haben die Gleichheit m^3=n(m^2+n^2).
Das heißt, dass n teilt m^3. Wieso teilt n aber dann bereits m?
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann m^3=m *m*m schreiben. Ich weis leider nicht was ich da machen soll?
fdsaf Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dir mal ein paar Beispiele für Zahlen n, die eine Zahl m^3 teilen.
Was fällt dir dabei auf?
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du dass, wenn n die Zahl teil dann auch n^2?
fdsaf Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Denn das stimmt auch nicht.

3 teilt 6, aber 9 teilt nicht 6.

Ich frage mal anders.
Wenn n nicht m teilt. Kann dann n teilt m^3 gelten?
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das geht dann nicht. Das müsste man wsl aucg beweisen
fdsaf Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Alles was du benutzt muss bekannt sein (also in der Vorlesung bewiesen sein), oder von dir bewiesen werden, wenn du es benutzt.

Hast du eine Idee, wie du das hier machen könntest?
Was könnte denn das Argument sein?
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich probier es mal. Ich gehe davon aus, dass n m teilt. Dann ex. ein k so, dass gilt n *k=m.
Ich glaube ich bin in einer Sackgasse unglücklich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus kannst du zunächst nur folgern, dass gilt (aus letzterem folgt nicht , Gegenbeispiel ).

Angenommen, es wäre , dann besitzt einen Primteiler , und es muss dann auch gelten. Für dieses darfst du nun folgern, dass ist - für Primzahl klappt diese Schlussweise, die für (i.a. nicht primes) fehlschlägt! Jetzt kann es weitergehen...

Zitat:
Original von rationale Lösung
Ich gehe also davon aus, dass es eine rationale Lösung gibt, also mit und ggT(m,n)=1

Eine kleine Korrektur: Dein Ansatz taugt so nur für positive . Das dürfen wir von vornherein aber nicht annehmen, es sind auch negative denkbar. Deswegen sollte der Ansatz mit geschehen, während sowie bestehen bleiben. Augenzwinkern
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rationale Lösung
Ich gehe also davon aus, dass es eine rationale Lösung gibt, also mit und ggT(m,n)=1

Eine kleine Korrektur: Dein Ansatz taugt so nur für positive . Das dürfen wir von vornherein aber nicht annehmen, es sind auch negative denkbar.Deswegen sollte der Ansatz mit geschehen, während sowie bestehen bleiben. Augenzwinkern [/quote]

Dass m Element der natürlichen Zahlen ist war so vorgegeben. Aber du hast natürlich mit deiner Darstellung recht.

Die Darstellung mit dem Primteiler gilt doch, weil jede Zahl eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden kann.

Was soll ich jetzt dann weitermachen. n teilt m^3, aber n nicht m. Muss ich meine Gleichung dann anders umstellen, um den Widerspruch zu bekommen, das ggT(m,n) nicht 1 ist?
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir bitte weiterhelfen, wie ich mit dem Beweis vorankomme:

Also wir haben ja jetzt und n teilt m^3 und dann? Gott
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Andreas500
Dass m Element der natürlichen Zahlen ist war so vorgegeben.

Unfug, nichts dergleichen ist "vorgegeben". Du sollst zeigen, dass die Gleichung keine rationalen Lösungen besitzt, das beinhaltet auch negative rationale Zahlen, und das ist im Ansatz zu berücksichtigen!

Zitat:
Original von Andreas500
Kann mir bitte weiterhelfen, wie ich mit dem Beweis vorankomme:

Also wir haben ja jetzt und n teilt m^3 und dann? Gott

Ich dachte, wir wären schon weiter. Vielleicht liest du dir das einfach mal durch?
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Aso, wenn n>1 dann besitzt n einen Primteiler. Dieser teilt dann m^3 als auch m. Wie soll es dann weitergehen. Was ist in dem Fall n=1?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sowohl als auch teilt, dann ist das ein gemeinsamer Teiler von und , was im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit von steht. Daher war die Annahme falsch, es ist also .

Dies eingesetzt haben wir also die Gleichung . Für die musst du nun noch zeigen, dass sie keine ganzzahligen Lösungen besitzt.
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke. Jetzt ist das mit n>1 klar. Für n=1 soll ich das dann zerlegen in faktoren, um das zu zeigen oder wie ist da der Trick?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt unzählige Möglichkeiten, das nachzuweisen. Eine wäre z.B.:

In der umgestellten Gleichung steht links garantiert eine gerade Zahl... und Feierabend.
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie beweist du dass immer eine gerade Zahl rauskommt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du an einer Hochschule oder nicht? Denk doch mal wenigsten einen solchen winzigen Schritt selbständig!!! unglücklich

Von den beiden aufeinander folgenden ganzen Zahlen (m-1) und m ist eine gerade - also?
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

m sei gerade also darstellabar mit 2n, m-1 ungerade, also darstellbar durch 2n+1
m*m-1= 2n*(2n+1)=4n^2+2n = 2(2n^2+2). Und eine Zahl die durch 2 teilbar ist, ist gerade.
Muss ich dann noch vorher beweisen, dass jede Zahl einen Primteiler hat?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Andreas500
Muss ich dann noch vorher beweisen, dass jede Zahl einen Primteiler hat?

Ich hab keine Ahnung, wieso du jetzt plötzlich damit ankommst. Ehrlich gesagt ist für mich die Aufgabe beendet. Vielleicht kann jemand anderes deine zig Nachfragen und -frägchen jetzt noch beantworten.
Andreas500 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank für deine Hilfe smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »