Kleinste-Quadrate-Schätzer einer Spirale

07.10.2017, 19:21

redshark

Kleinste-Quadrate-Schätzer einer Spirale

Meine Frage:
Ein Massepunkt bewegt sich auf der Bahn gegeben durhc die Funktion:

$\begin{eqnarray*} F \colon \mathbb{R_+} \to \mathbb{R}^2, \quad F(t) := \begin{pmatrix} A t \cos(\omega t) \\ A t \sin(\omega t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die mit Fehlern behafteten Messungen $\begin{eqnarray*} (t_i, F(t_i)) \end{eqnarray*}$ sind gegeben. (Es sind 500 Datenpaare).

Man entwickle ein Konzept,um $\begin{eqnarray*} A ,\omega \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Methoder der kleinsten Quadrate an die Daten anzupassen. Man führe das Konzept aus.

Meine Ideen:
Hallo,

hier eine KQ-Schätzung zu konzipieren, stell mich irgendwie vor eine Hürde. Für lineare Gleichungen oder linearisierbare Gleichungen, ist das ja nicht schwierig. Aber wenn ich hier erstmal ansetze mit:

$\begin{eqnarray*} Q(A, \omega) = \sum_{i=1}^n (x_i - A t_i \cos(\omega t_i))^2 + (y_i - A t_i \sin(\omega t_i))^2 \end{eqnarray*}$

wobei ich mit x,y die Messpunkte in dieser Koordinate meine, komme ich nicht weiter.

Nomalerweise würde man ja ausmultiplizieren, partiell differenzieren und dann Minima berechnen und am Ende das konkret vom Computer ausrechnen lassen. Hier ende ich aber bei:

$\begin{eqnarray*} Q(A, \omega) = \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2At_ix_i \cos(\omega t_i) + A^2t_i^2 \cos(\omega t_i)^2 + y_i^2 -2At_iy_i \sin(\omega t_i)) + A^2t_i^2 \sin(\omega t_i))^2 <br /> = \sum_{i=1}^n x_i^2 + y_i^2 - 2At_ix_i \cos(\omega t_i) -2At_iy_i \sin(\omega t_i)) + A^2t_i^2 \end{eqnarray*}$

Ich kann das zwar noch differenzieren, aber das Gaze dann Null zu setzen führt mich nur auf keine lösbaren Gleichungssysteme:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial A} Q(A, \omega) = \sum_{i=1}^n -2t_i x_i \cos(\omega t_i) -2t_i y_i \sin(\omega t)) + 2A t_i^2 =0<br /> <br /> \frac{\partial}{ \partial \omega} Q(A, \omega) = \sum_{i=1}^n 2At_i^2 x_i \sin(\omega t_i) - 2At_i^2 x_i \cos(\omega t_i)=0 \end{eqnarray*}$

Ich vermute hier irgendeinen Trick, den ich nicht sehe..

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank!

07.10.2017, 20:32

HAL 9000

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Sieht doch schon mal ganz gut aus. Insbesondere bei der zweiten Gleichung kannst du $\begin{align*} 2A \end{align*}$ aus der Summe ziehen, es wird also

$\begin{align*} \sum_{i=1}^n t_i^2 \left( x_i\sin(\omega t_i) - y_i\cos(\omega t_i)\right) = 0 \end{align*}$

gefordert. Das ist "nur" noch eine Gleichung für eine Unbekannte $\begin{align*} \omega \end{align*}$ . Die algebraisch auflösen zu wollen ist aussichtslos, da muss ein Näherungsverfahren ran.

Hast du einmal $\begin{align*} \omega \end{align*}$ , kannst du ein passendes $\begin{align*} A \end{align*}$ leicht durch Umstellung deiner ersten Gleichung

$\begin{align*} -2\sum_{i=1}^n t_i \left(x_i\cos(\omega t_i)+y_i\sin(\omega t)\right) + 2A \sum_{i=1}^n t_i^2 = 0 \end{align*}$

nach $\begin{align*} A \end{align*}$ berechnen.

07.10.2017, 21:21

redshark

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Ah okay,

ja diese Umstellungen hatte ich auch schon, aber ich dachte, es gäbe irgendeinen trigonometrischen Weg, das algebraisch aufzulösen.

Dann muss ich wohl hier Kollege Computer schon nutzen und schauen, wie ich das numerisch löse.

Vielen Dank!

07.10.2017, 22:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von redshark
aber ich dachte, es gäbe irgendeinen trigonometrischen Weg, das algebraisch aufzulösen.

Bei n=1 ist es noch auflösbar, aber bereits bei $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ und einem "krummen" Verhältnis $\begin{align*} \frac{t_1}{t_2} \end{align*}$ ist bereits Schluss. Ganz zu schweigen von größeren $\begin{align*} n \end{align*}$ wie etwas deinen $\begin{align*} n=500 \end{align*}$ .

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