Ortsvektor eines Punktes senkrecht zur Ebene

08.10.2017, 10:03

danieldiver

Ortsvektor eines Punktes senkrecht zur Ebene

Meine Frage:
Hallo! Ich sitze hier vor einer Aufgabe und komme nicht so ganz weiter bzw. bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin.

Hier mal die Aufgabe:
Sei E1 die Ebene des R^3, dien durch die Punkte A, B ,C mit den Ortsvektoren a = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
b = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ c = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ geht.

R^3 sei mit dem kanonischen Skalarprodukt versehen.

1. Bestimmen Sie die Ebene E1 durch Angabe der Menge ihrer Ortsvektoren.
2. Berechnen Sie den Ortsvektor f1 des Punktes F1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ E1 mit der zusätzlichen Eigenschaft f1 orthogonal zu E1
Zu berücksichtigen: f1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ E1

Wäre echt toll, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte.

Gruß,
Daniel

Meine Ideen:
Zu 1 habe ich anhand der Ortsvektoren die Parameterform der Ebenengleichung erstellt. Ich hoffe, das stimmt soweit. Mein Ergebnis dafür lautet: $\begin{eqnarray*} E_{1}: x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das das Ergebnis oder ist bei der Aufgabenstellung eigentlich etwas ganz anderes gefordert?

Zu 2 bin ich mir nun überhaupt nicht sicher. Ich habe einfach den Normalenvektor über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren gebildet

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das kann es doch aber nicht wirklich sein, oder?

08.10.2017, 10:52

Leopold

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Du hast einen Vektor bestimmt, der auf der Ebene senkrecht steht. Das ist aber nicht der einzige, denn alle Vektoren $\begin{align*} s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$ mit $\begin{align*} s \in \mathbb{R} \end{align*}$ stehen senkrecht auf dieser Ebene. Welcher von diesen Vektoren ist jetzt von der Bauart aus der Teilaufgabe 1.? Denn jene Vektoren waren doch die Ortsvektoren von Punkten der Ebene.

08.10.2017, 11:14

danieldiver

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Puh irgendwie hilft mir das nicht weiter. Ist mir ja schon ein wenig peinlich.... Ups

Könntest du mir vielleicht noch etwas mehr auf die Sprünge helfen?

08.10.2017, 11:35

sibelius84

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RE: Ortsvektor eines Punktes senkrecht zur Ebene
Hallo danieldiver,

also erstmal:
Deine Lösung zu 1 ist aus meiner Sicht richtig. Mit "x = ..." gibst du, wie in der Aufgabe gefordert, die Menge aller Ortsvektoren von Punkten der Ebene an.

Nun zu 2:

Zitat:

Original von danieldiver
2. Berechnen Sie den Ortsvektor f1 des Punktes F1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ E1 mit der zusätzlichen Eigenschaft f1 orthogonal zu E1
Zu berücksichtigen: f1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ E1

Das heißt, du musst dir von den ganz ganz vielen Vektoren s·(1,1,1) (dazu gehören ja bspw: (1/2, 1/2, 1/2); (6,6,6); usw usf.) nun EINEN aussuchen, sodass das, was rauskommt, in deiner Ebene liegt. Rechnerisch könntest du das so umsetzen, dass du den Vektor "s·(1,1,1)" (bzw. (s,s,s), falls dir das einfacher fällt) in die unter 1 aufgestellte Ebenengleichung einsetzt und mal schaust, ob du einen geeigneten Wert für s ermitteln kannst.

Grüße,
sibelius84

08.10.2017, 11:57

danieldiver

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Also wenn ich jetzt das jetzt richtig verstanden habe, dann stelle ich folgende Gleichung auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s \\ s \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann folgt daraus:

I s = 1 - r - t
II s = r
III s = t

Das dann in I eingesetzt ergäbe s = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Also sollte die Lösung doch sein f1 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\ 1/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder?

08.10.2017, 13:22

Leopold

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Ja, das stimmt so. Eine Spur einfacher wäre es gewesen, wenn du für die Vektoren

$\begin{align*} \vec{x} = \vec{a} + r ~ \vec{u} + t ~ \vec{v} \ \ \ \text{mit} \ \ \ \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

die Bedingungen

$\begin{align*} \vec{x} \cdot \vec{u} = 0 \, , \ \ \vec{x} \cdot \vec{v} = 0 \end{align*}$

aufgestellt hättest. Das ergibt ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Unbekannten $\begin{align*} r \end{align*}$ und $\begin{align*} t \end{align*}$ .

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