Algebra und Verknüpfungstabelle verstehen

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Methyl Auf diesen Beitrag antworten »
Algebra und Verknüpfungstabelle verstehen
Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen und komme nicht weiter und bitte um Mithilfe und vielleicht Korrektur.

Aufgabe:

Die Menge der Permutation der Teilmenge {1,2,3,4} der natürlichen Zahlen bildet zusammen mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen die Gruppe S_4. das neutrale Element der Gruppe ist id: {1,2,3,4} -> {1,2,3,4} : x -> x. Wir betrachten die folgenden in Zyklenschreibweise gegebenen Permutationen:

p = (12)(34)
q = (12)(3)(4)

a)
Gilt p°p = id?

Meine Lösung:
Ja, da p°p = (1)(2)(3)(4)

b)
Gilt p°q = q°p?

Meine Lösung:
ja (Angewendet und verglichen)

c)
Es seien r := p°q und U := {id, p,q,r}. Geben Sie die Verknüpfungstabelle für die Elemente von U an.

Meine Lösung:

° id p q r
_____________
id| id p q r
p| p q r id
q| q r id p
r.| r id p q

richtig??

d)
Zeigen Sie, dass die Menge U für jedes Element x aus U auch ei Inverses x^{-1} enthält.

Meine Lösung:
Hier bin ich mir nicht sicher aber Laut definition ist ein Inverses Element ja: x ° a = e ; a ° x = e
Also müsste es doch der Tabelle nach, gerade die Diagonale "r" in der Tabelle sein?


e)
Aus den beiden obigen Aussagen folgt, dass U eine Untergruppe von S_4 ist. Ist die Gruppe <Z_4, +_4> isomorph zur Gruppe U?

Meine Lösung:
Hier hätte ich JA gesagt, nur weiß ich nicht ob meine obige Tabelle richtig ist. Vergleiche ich beide Tabellen dann sehe ich sofort das diese Isomorph sind. Nur weiß ich das unser Prof. sehr listig bei solchen Aufgaben ist, die klare Indizien zu etwas hinweisen, aber ein kleines Merkmal/Definition das ganze hinschmeißt und die Antwort komplett ändert.

Meine Ideen:
Ideen siehe in Teilaufgaben smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebra und Verknüpfungstabelle verstehen
Hallo Methyl,

die Verknüpfungstabelle aus c) enthält, wenn ich richtig lese, dass p°r = id, und p°p = q? Hattest du nicht in a) gezeigt, dass p°p=id?

d): Das Inverse ist immer das, wo bei Verknüpfung dann das Neutrale (hier also id) rauskommt. Nach deiner Tabelle aus c) wäre z.B. r zu p invers (und nach a) aber p, siehe oben - im Widerspruch zur Eindeutigkeit des Inversen)

e) Anregung: Schau mal, ob du die Sachen von vorher erledigen kannst - dann hast du im Hinblick darauf, ob es sich bei U um eine zyklische Gruppe handelt, evtl. schon mehr Informationen.

Grüße,
sibelius84
Methyl Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte vor meinen Beitrag zu editieren, aber es erscheint ständig die Meldung das ich 15 mi warten muss usw. klappt auch dann nicht, warum auch immer.

Ich hab es nochmal nach recherchiert und hab die Tabelle nochmal gemacht.

c)



Jetzt sollte sie stimmen. Oder ?

d)
Meine neue Antwort zu d) lautet: Jedes Element in U ist zu sich selbst Invers. Da hier die id unser neutrales element ist, entspricht es genau der Diagonale.


e)
Wenn ich mir die Tabelle nun jetzt anschaue sehe ich, dass meine Vorherige Aussage nicht gestimmt hat. Vorausgesetzt die vorherigen Teilaufgaben waren bis jetzt richtig??

Danke sibelius84, kannst du bitte nochmal ein Blick drauf werfen?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Schaut gut aus! smile
Methyl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sibelius84
Schaut gut aus! smile


Dankeschön Hammer
Methyl Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte nicht unnötig ein neues Thema aufmachen und stelle meine Frage hier nochmal rein zur einer Aufgabe an der ich nicht weiter komme...

Die Menge der bijektiven Funktionen f : R/{0,1} -> R/{0,1} bildet zusammen mit der Hintereinanderausführung einer Gruppe, wobei wir die Hintereinanderausführung f°g von Abbildungen f und g als f°g: g(f(x)) definieren. Das neutrale Element der Gruppe ist id: R/{0,1} -> R/{0,1}: x -> x.

a) Gilt f°g = g°f ?
Meine Antwort: Nein. Somit ist diese Gruppe schonmal nicht abelsch (kommutativ).

b)Es sei r = f°g, s = g°f und U = {id, f, g, r, s}. Geben Sie die Verknüpfungstabelle für die Elemente von U an.

Meine Tabelle sieht soweit so aus:



Nur leider weiß ich jetzt nicht wie ich weiter komme. Ich hab alle Regeln angewandt die ich kenne.

Vielleicht hast du mir ein Tipp sibelius84 ? Oder jemand Adresse smile
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a) Warum ist die Gruppe nicht abelsch ?
b) In jeder Zeile und Spalte einer Gruppentafel muss jedes Gruppenelement genau einmal auftreten. Man nennt solche Tafeln auch Cayley-Tafeln. Warum das so ist, darfst du dir überlegen (oder nach hinreichend langer Denkzeit nachfragen.) Wenn deine Gruppentafel bis dahin stimmen würde, wäre fs=s, also f das neutrale Element. Das kann nicht sein, weil es nur ein neutrales Element in einer Gruppe gibt, und das ist hier id. (Das ganze ist wohl eher eine Scherzfrage, denn jede Gruppe der Ordnung 5 ist zyklisch abelsch.)
Methyl Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry ich vergass anzugeben:

f : x -> 1/x
g : x -> 1-x

a)

f°g = 1 - 1/x
g°f = 1/(1-x)

Demnach sind diese doch ungleich? Also nicht abelsch.
So entstand auch meine Tafel.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo methyl,

genau, da f°g ungleich g°f ist, wäre die Gruppe nicht abelsch. Elvis hat aber auch wiederum Recht, dass jede Gruppe der Ordnung 5 zyklisch, also insbesondere abelsch ist (das gilt für jede Gruppe der Ordnung p, p eine Primzahl). Also muss da irgendwo noch ein Hase im Pfeffer liegen.

Schau mal, ob deine fünfelementige Menge wirklich unter Verknüpfung abgeschlossen ist.

Grüße,
sibelius84
Methyl Auf diesen Beitrag antworten »

ok gut, dann weiß ich das mit den Primzahlen. Gelöst bekomme ich die Tafel trotzdem nicht. Sorry ich steh grad auf dem Schlauch. traurig
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wie willst du eine nichtabelsche Gruppe mit 5 Elementen aufschreiben, wenn es keine nichtabelsche Gruppe mit 5 Elementen gibt ? Das geht einfach nicht. Entweder ist die Aufgabe falsch gestellt oder du hast sie falsch verstanden.
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