Schnittpunkt Gerade und Ebene im 4-dimensionalen

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Wunderkind89 Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt Gerade und Ebene im 4-dimensionalen
Ich bin hier im A^4 (Affinerraum). Leider hab ich keine Ahnung wie ich bei einer Ebene mit einer Geraden auf Schnittpunkte untersuchen kann. Die Regel über Normalvektor einer Ebene bilden gilt im A^4 nicht. Einer Ideen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

was verstehst du unter Ebene im ?
 
 
Wunderkind89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Sie haben recht, dass was im in der vierten Dimension ist liegt außerhalb unserer Vorstellungskraft.

Aufgabe: Prüfe g und E paarweise auf gemeinsame Punkte und gib diese an.

g: 2w + x = 6, 14w+2y=1, -w+2z=1
E: (labda1, labda2) = (1,0,0,0)^t + lambda1(1,1,9,6)^t + lambda2(3,-3,2,5)^t, wobei x =(w,x,y,z).

Für gerade g hab ich raus:
g:x = (-1;8,7,5;0)^t + z(2;-4;-14;1)

Für E hab ich folgende Gleichungsdarstellung:


Nun weiss ich nicht weiter, wie ich den Schnittpunkt (?) finde
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nun, die Ebene ist offenbar 2 dimensional und keine Hyperebene.

1.)
Die Gerade in Parameterform macht nur Sinn, wenn jetzt direkt geschnitten wird:



Das gibt 4 Gleichungen in den Variablen

Ob die Lösungsmenge Null dimensional ist ( Punkt ) ist noch nicht gesichert ! Da gibt die Aufgabe unnötig Informationen preis.

2.)
direkt ohne Umweg über die Parameterform der Geraden:

setze doch aus die entsprechenden x,y,z,w-Zeilen in die 3 Hyperebenen - die die Gerade definieren - ein.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist keine Ebenengleichung für E, dort steht lediglich das berechnete Produkt zweier Matrizen.
Schnittpunkte sind nur dann zu finden, wenn in der (parameterfreien) Ebenengleichung ebenfalls die Variablen aufscheinen.

Die Gerade g stimmt so weit, nur solltest du für den Parameter NICHT z setzen, denn z ist ja eine der 4 Funktionsvariablen. Also

g: X = (-1; 8; 15/2; 0) + t(2; -4; -14, 1)

In die Ebenengleichung* (wenn sie denn richtig berechnet ist) setzt man dann nacheinander die zeilenweise bestimmten Terme für w, x, y, z ein: w = -1 + 2t, x = ..; y = ..; z = t und löst nach dem Parameter t.
Diesen in g wieder eingesetzt bringt den Schnittpunkt.

(*)
Um die Ebenengleichung zu bestimmen, schreibe die Parameterdarstellung untereinander und eliminiere die beiden Parameter.
Damit bleibt eine Gleichung für E in w, x, y, z stehen [w + 2x - y + z = 1]

mY+
Wunderkind89 Auf diesen Beitrag antworten »

"nun, die Ebene ist offenbar 2 dimensional und keine Hyperebene."

Wieso 2 Dimensional?

"Das gibt 4 Gleichungen in den Variablen "

Ich hab doch dann 4 Gleichungen mit 3 Unbekannten und das ist doch nicht lösbar


"setze doch aus die entsprechenden x,y,z,w-Zeilen in die 3 Hyperebenen - die die Gerade definieren - ein."

Welche 3 Hyperebenen und wieso 3? Könnten Sie mir da eventuell zeigen, was genau Sie meinen?
Am Anfang sagen Sie noch es sei 2 Dimensional, d.h keine Hyperebene und jetzt ist die Rede von Hyperebenen.

Wären Sie so nett und könnten Sie mir auch den zweiten weg verdeutlichen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wunderkind89

g: 2w + x = 6, 14w+2y=1, -w+2z=1


Das sind 3 Hyperebenen der Dimension 3 geschockt
und deren Schnittmenge ist g. Setze besser ein "und" dazwischen, das ist nämlich ein LGS.

Zitat:

E: (labda1, labda2) = (1,0,0,0)^t + lambda1(1,1,9,6)^t + lambda2(3,-3,2,5)^t, wobei x =(w,x,y,z).


ich sehe 2 Spannvektoren, also 2-dimensional.

Zitat:

Für gerade g hab ich raus:


also 1-dimensional !

Zitat:
"Das gibt 4 Gleichungen in den Variablen "

Ich hab doch dann 4 Gleichungen mit 3 Unbekannten und das ist doch nicht lösbar


Lehrer Das ist kein Kriterium. wer sagt denn so etwas?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie schon vordem ausgeführt:
Es gibt mit der Geraden

g: X = (-1; 8; 15/2; 0) + t(2; -4; -14, 1) und der Ebene

E: w + 2x - y + z = 1

genau einen Schnittpunkt.

mY+
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

@wunderkind89:
falls es noch interessiert, ein möglicher Richtungsvektor von g ist



da musst du dich vertan haben.
Wunderkind89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt die komplette Gerade mit der Ebene gleichgesetzt und in Matrix überführt. Es kam RG(A)= 3 und RG(A|b) =4 raus, d.h kein Schnittpunkt.

Dann hab ich den Richtungsvektor der Geraden mit den beiden Vektoren (Spannvektoren?) der Ebene gleichgesetzt in Matrix überführt und es kam RG(A)=3 und RG(A|b)=3 raus (unendlich viele Lödingen), d.h keine Parallelität.

1. Ist das korrekt so ?
2. Ich muss im A^4 auf Schnittpunk und Parallelität untersuchen, da Gerade und Ebene sich scheiden und zugleich parallel sein können. Richtig ?
3. Im affinen Raum ist ein Punkt 0 Dimensional, Gerade 1 Dimensional, Ebene 2 Dimensional. In meinen Beispielen hatte ich Ebene der Dimension 2 (zwei Vektoren), was drückt aber A4 aus ? Das ist doch ein 4 Dimensionaler affiner Raum? Also ich sehe das so: zwei Vektoren der Dimension 4 spannen eine zwei dimensionale Ebene auf. Ich glaube ich komme da etwas durcheinander ....
Wunderkind89 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei A^4 steht die 4 für die Menge an Punkten
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wunderkind89
Ich hab jetzt die komplette Gerade mit der Ebene gleichgesetzt und in Matrix überführt. Es kam RG(A)= 3 und RG(A|b) =4 raus, d.h kein Schnittpunkt.


ja, das stimmt, ----> g, E sind echt parallel

Zitat:

Dann hab ich den Richtungsvektor der Geraden mit den beiden Vektoren (Spannvektoren?) der Ebene gleichgesetzt in Matrix überführt und es kam RG(A)=3 und RG(A|b)=3 raus (unendlich viele Lödingen), d.h keine Parallelität.


Die 3 Vektoren sind immer linear abhängig wenn kein Schnittpunkt existiert


1. Ist das korrekt so ? so halb und halb.
2. Ich muss im A^4 auf Schnittpunk und Parallelität untersuchen, da Gerade und Ebene sich scheiden und zugleich parallel sein können. Richtig ? wenn die Schnittmenge unendlich ist, dann schon.
3. Im affinen Raum ist ein Punkt 0 Dimensional, Gerade 1 Dimensional, Ebene 2 Dimensional. In meinen Beispielen hatte ich Ebene der Dimension 2 (zwei Vektoren), was drückt aber A4 aus ? Das ist doch ein 4 Dimensionaler affiner Raum? Also ich sehe das so: zwei Vektoren der Dimension 4 spannen eine zwei dimensionale Ebene auf. Ich glaube ich komme da etwas durcheinander ....
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wunderkind89
Bei A^4 steht die 4 für die Menge an Punkten


ziemlicher Unfug. Die CSU steht für Recht und Ordnung...

Im Wesentlichen geht es um den Zahlenvektorraum mit Skalarprodukt

Näheres bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Affiner_Raum
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