Hauptachsentransformation

09.10.2017, 13:40	math_head94	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation Meine Frage: Guten Tag, Ich habe eine Frage zur Eindeutigkeit der Diagonalmatrix bei der Hauptachsentransformation. Die Aufgabe , die ich bearbeitet habe lautet $\begin{eqnarray} f(x,y)=-2x^2+6y^2+6xy-3y \end{eqnarray}$ und mein Ergebnis $\begin{eqnarray} -3x'^2+7y'^2-3/14=0 \end{eqnarray}$ mit den Eigenwerten/Eigenvektoren: $\begin{eqnarray} \lambda_1 =-3;u_1=\begin{pmatrix} 3/sqrt(10) \\ -1/sqrt(10) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_2 =7;u_2= \begin{pmatrix} 1/sqrt(10) \\ 3/sqrt(10) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun besteht aber die Möglichkeit, die Eigenwerte auf der Diagonalmatrix zu tauschen unter Berücksichtigung, dass die Determinante der Transformationsmatrix +1 bleibt.Mein zweites Ergebnis lautet: $\begin{eqnarray} 7x'^2-3y'^2-3/14=0 \end{eqnarray}$ Nun ist die Frage, ob beides richtig ist oder mir ein Fehler bei der Rechnung unterlaufen ist? Liebe Grüße, hoffe mir kann da jemand helfen. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3/sqrt(10) \\ -1/sqrt(10) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/sqrt(10) \\ 3/sqrt(10) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x,y)=-2x^2+6y^2+6xy-3y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 7x'^2-3y'^2-3/14 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -3x'^2+7y'^2-3/14 \end{eqnarray}$
09.10.2017, 14:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beide Hyperbeln sind möglich. Die erste ist (gegenüber der zweiten) um 90° gedreht und hat ihre Hauptachse auf der y-Achse (2. Hauptlage). Die zweite Hyperbel liegt daher in 1. Hauptlage. [attach]45372[/attach] mY+

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