Ganzrationale Funktion symmetrisch immer Extrempunkt auf y-Achse?

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JOdin Auf diesen Beitrag antworten »
Ganzrationale Funktion symmetrisch immer Extrempunkt auf y-Achse?
Meine Frage:
Hallo,

bei Graphen von ganzrationalen Funktionen, die symmetrisch zur y-Achse sind, müsste es doch immer auf der y-Achse einen Extrempunkt geben, oder?
Darf man dann bei Funktionstermbestimmungen auch immer annehmen, dass f'(0)=0 gilt?

Mir reicht ein simples "Ja" oder ein Gegenbeispiel aus, brauche keinen Beweis smile

Danke schonmal

Meine Ideen:
Klar ist, dass f eine gerade Funktion ist.

Als Beispiele für gerade Funktionen, die auf der y-Achse keinen Extrempunkt haben, fallen mir schon auch Beispiele ein (Betrag, Trigonometrische, Glockenkurve)...aber keine Ganzrationale Funktion.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist mit der Nullfunktion?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Extremum nicht, wie Helferlein schon sagt. Aber du kannst annehmen.

Auch wenn du es nicht haben wolltest, ein kurzer Beweis. Ist gerade, so treten nur gerade Exponente auf, d.h. . Man kann nun die Ableitung bestimmen und sehen, dass an der Stelle 0 auch 0 herauskommt.

Alternativ kann man es mit der Taylorentwicklung von vergleichen. Demnach gilt . D.h. alle ungeraden Ableitungen verschwinden in der 0! Dass die erste verschwindet, liegt also daran, dass die 1 ungerade ist Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, die konstante Funktion besitzt überall Extremstellen, die sogar global sind, insofern hat JOdin Recht.

Wichtig ist natürlich die Voraussetzung "ganzrational". Für beliebige Funktionen (selbst bei Forderung der stetigen Differenzierbarkeit) gilt das mit der Extremstelle x=0 i.a. nicht.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Hmm, die konstante Funktion besitzt überall Extremstellen, die sogar global sind, insofern hat JOdin Recht.


Ich habe ja auch nur die Frage in den Raum gestellt. Ich denke auf Schulniveau ist das nicht so ohne weiteres klar und sollte JOdin zum Nachdenken anregen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ja auch auf "Extremum nicht" geantwortet, nicht auf deinen Beitrag. Augenzwinkern
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne genauere Spezifizierung (lokal vs. global, strikt oder nicht), denke ich bei "Extremum" wohl kontextbezogen. Im Falle von Polynomen dann lokal und strikt.

Gibt es eine einheitliche Definition von Extremum, wenn man die Art nicht genauer angibt?
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