Gronwall-Ungleichung

09.10.2017, 20:24	ode45	Auf diesen Beitrag antworten »
Gronwall-Ungleichung Meine Frage: Hallo, ich habe ein paar Fragen zu einem Beweis aus unserem ODE-Skript (siehe Anhang). Meine Ideen: Die Beweisidee ist klar, ich meine auch alles verstanden zu haben, bis auf den letzten Schritt: Wo entsteht der Widerspruch? Ich sehe auch nicht, wo $\begin{eqnarray} \alpha\geq 0 \end{eqnarray}$ notwendig war (vielleicht ist das ja der Grund warum ich den Widerspruch nicht sehe ). Zum Beweisschritt (iii): ist das nicht sofort aus der Stetigkeit von $\begin{eqnarray} \phi_\epsilon - \|x\| \end{eqnarray}$ und dem Zwischenwertsatz klar? Danke schonmal für eure Hilfe!
11.10.2017, 10:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gronwall-Ungleichung Man hat sich auch redlich Mühe gegeben den Beweis so unverständlich wie möglich darzulegen. Die Funktion $\begin{eqnarray} \varphi_\varepsilon \end{eqnarray}$ ist die Lösung von $\begin{eqnarray} y' = \alpha y + \beta + \varepsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y(t_0) = \|x(t_0)\|+\varepsilon \end{eqnarray}$ . Für den Widerspruch schätzt man ab $\begin{eqnarray} \alpha(s) \|x(s)\| + \beta(s) \leq \alpha(s) \varphi_\varepsilon(s) + \beta(s) = \varphi'_\varepsilon(s) - \varepsilon. \end{eqnarray}$ Das Integral darüber kann man mit dem Hauptsatz berechnet und führt zu der Abschätzung. (In etwa, bin mir bei den Details nicht sicher). Die erste Abschäzung ist erlaubt, da $\begin{eqnarray} \alpha \geq 0 \end{eqnarray}$ gilt! Und zu (iii) kannst du nicht mit dem Zwischenwertsatz argumentieren, weil du nicht weißt, dass $\begin{eqnarray} \|x(t) \| > \varphi_\varepsilon(t) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ gilt. Und selbst dann könnte es sein, dass die Funktionen erst später Gleichheit annehmen.
11.10.2017, 21:06	ode45	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gronwall-Ungleichung Hi IfindU, danke für deine Antwort - das Gefühl, dass das möglichst kompliziert/wenig erklärt wird hatte ich auch in der gesamten Vorlesung ^^ Ich bin inzwischen selber auf die Idee gekommen, die Ableitung von $\begin{eqnarray} \varphi_\epsilon \end{eqnarray}$ zu betrachten, das liefert dann auch mein gewünschtes Ergebnis. Der kleine Hinweis, dass $\begin{eqnarray} \varphi_\epsilon \end{eqnarray}$ die Lösung besagter DGL ist, wäre sehr hilfreich gewesen. Aber kann ich bei (iii) nicht so argumentieren: Angenommen, $\begin{eqnarray} \|x(t_1)\|-\varphi_\epsilon(t_1)>0 \end{eqnarray}$ , dann muss es nach dem ZWS, da ja $\begin{eqnarray} \|x(t_0)\|-\varphi_\epsilon(t_0)<0 \end{eqnarray}$ , ein $\begin{eqnarray} t_\frac{1}{2}\in (t_0,t_1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x(t_\frac{1}{2})\|-\varphi_\epsilon(t_\frac{1}{2})=0 \end{eqnarray}$ geben, im Widerspruch zur Wahl von $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ ?
12.10.2017, 11:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gronwall-Ungleichung So wolltest du also argumentieren. Das geht, aber jetzt kann es noch ( a priori ) sein, dass $\begin{eqnarray} \|x(t_1)\| - \varphi_\epsilon(t_1) < 0 \end{eqnarray}$ ist. Auch das führt sofort zu einem Widerspruch, aber sollte dennoch gemacht werden.

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