Bewegungsinvarianz Crofton

10.10.2017, 11:43

Mathx12

Bewegungsinvarianz Crofton

Meine Frage:
Hi, folgender Beweis zur Crofton-Formel bereitet mir Schwierigkeiten.
Also Bewegungsinvarianz liegt dann vor, wenn $\begin{eqnarray*} W(X+cK)=W(K) \end{eqnarray*}$ gilt.

Auf die Crofton-Formel bezogen sieht das so aus:
$\begin{eqnarray*} W(X+cK)= \int_{\epsilon^{d}_{k}}^{} \! v_{j}((X+cK)\cap E) \, dE = |E -> (X+cE)| = \int_{\epsilon^{d}_{k}}^{} \! v_{j}((X+cK)\cap (X+cE)) \, dE = \int_{\epsilon^{d}_{k}}^{} \! v_{j}(X+c(K\cap E)) \, dE = | v_{j} ist bewegungsinvariant | =\int_{\epsilon^{d}_{k}}^{} \! v_{j}(K\cap E) \, dE = W(K) \end{eqnarray*}$

Mir sind zwei Schritte nicht ganz klar. Warum lässt man E auch gegen (X+cE) laufen?

Meine Ideen:
Hängt das mit der Bewegungsinvarianz des Lebesguemaßes zusammen?

Warum ist $\begin{eqnarray*} v_{j} \end{eqnarray*}$ bewegungsinvariant?

15.10.2017, 19:49

sibelius84

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RE: Bewegungsinvarianz Crofton

Zitat:

Original von Mathx12
$\begin{eqnarray*} W(X+cK)=W(K) \end{eqnarray*}$

Hallo Mathx12,

habe davon auch nicht so die wirklich vertiefte Ahnung, aber da dir sonst bis jetzt keiner geantwortet hat, zumindest mal die Bemerkung / Frage - müsste es da nicht heißen

$\begin{eqnarray*} W(X+cK)=\lvert c \rvert W(K) \end{eqnarray*}$ ?

Grüße
sibelius84

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