Äquivalenzrelation beweisen

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Anonym2017 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation beweisen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

folgende Situation: In einer Schüssel befinden sich verschiedene Früchte. Die Sachen, die zusammen die Obstschale ergeben, werden wie folgt sortiert: http://blog.dtoday.de/neonroehren/wp-content/uploads/96__500x_36484.gif
Alle Bananen bilden eine Klasse, alle Kiwis bilden eine Klasse, die Schüssel bildet eine Klasse, der Löffel bildet eine Klasse usw.

Aufgabe: Wir sollen die zugrunde liegende Äquivalenzrelation angeben und zeigen, dass es sich hierbei um eine Äquivalenzrelation handelt. Anmerkung: Wir haben nur eine kurze Einführung in das Thema erhalten.


Meine Ideen:
Kann man erstmal festhalten, dass die "Gegenstände" nach der Form sortiert wurden?
Also a~b, wenn a und b dieselbe Form haben?

Würde der Beweis so aussehen? Man muss zeigen, dass die Äquivalenzrelation folgende Bedingungen erfüllt: Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
reflexiv: a hat dieselbe Form wie a.
symmetrisch: Wenn a dieselbe Form wie b hat, dann hat b dieselbe Form wie a.
translativ: Wenn a dieselbe Form wie b und b dieselbe Form wie c hat, dann hat a dieselbe Form wie b.

Stimmt das oder denke ich zu kompliziert?

Danke schon mal im Voraus.
LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation beweisen
Zitat:
Original von Anonym2017
translativ: Wenn a dieselbe Form wie b und b dieselbe Form wie c hat, dann hat a dieselbe Form wie b.

transitiv: Wenn a dieselbe Form wie b und b dieselbe Form wie c hat, dann hat a dieselbe Form wie c.
Zitat:
Original von Anonym2017
Stimmt das oder denke ich zu kompliziert?

Ja, das stimmt oder du denkst zu kompliziert. Augenzwinkern (Übe Aussagenlogik: Eine Aussage "A oder B" ist wahr, wenn A wahr ist oder B wahr ist.)
 
 
Anonym2017 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. smile Ja, Aussagenlogik muss ich noch mal üben, das stimmt. Big Laugh
Ein paar Fragen möchte ich gerne noch loswerden.
Kann ich wirklich sagen, dass die Bestandteile der Obstschale nach der Form sortiert wurden? Wenn man sich die Bananenklasse anguckt (ich hoffe, man konnte den Link öffnen?!), stellt man ja fest, dass die Bananen, die ganz oben liegen, eine andere Form haben bzw. kleiner sind als die anderen. Oder spielt das keine Rolle? Und die Äpfel und die Mandarinen haben ja im Prinzip auch dieselbe Form. Beide ähneln einem Halbmond. Dann müssten die ja zusammen eine Klasse bilden? Also ist diese Formulierung: a~b, wenn a dieselbe Form wie b hat, tatsächlich korrekt? Das wäre doch die zugrunde liegende Äquivalenzrelation, oder? Oder wäre diese Formulierung vllt. passender? a~b, wenn a und b dieselben Bestandteile des Obstsalats sind?
Zur Reflexivität habe ich auch noch eine Frage. Ich finde es schwierig, diese Eigenschaft nachzuweisen. Kann man echt sagen: a hat dieselbe Form wie a? Das hört sich für mich irgendwie zu trivial an...
LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss die Bestandteile nicht sortieren sonder klassifizieren, d.h. in Klassen einteilen, d.h. die gegebene Menge in disjunkte Teilmengen zerlegen.
Unter "Form" des Seienden verstehe ich den Begriff so, wie Aristoteles ihn verwendet. Die "Form" ist von der "Gestalt" des Seienden zu unterscheiden. Alle Bananen sind äquivalent, alle Löffel sind äquivalent, etc. Man könnte hier auch sagen, Objekte gleichen Namens sollen äquivalent sein, das läuft nach Aristoteles vermutlich auf dasselbe hinaus - kann ich aber nicht garantieren, zumal ich Aristoteles wegen der Neuheit seiner Gedanken schätze aber wegen der unglaublich vielen Fehler verachte, die er gemacht hat. Einerseits hat er die Philosophie bereichert, andererseits hat er die Wissenschaft zweitausend Jahre lang behindert.
"Bestandteil des Obstsalates" ist als Klassenbegriff weniger geeignet, weil zum Obstsalat das Obst gehört aber nicht die Schüssel oder die Löffel.
Reflexivität ist nichttrivial, Reflexivität ist eine wichtige Eigenschaft einer jeden Äquivalenzrelation. In Beispielen wie hier ist sie für alle a leicht nachzuweisen, weil sie selbstverständlich gilt. Du sollst leichte Beweise nicht geringschätzen, freue dich darüber - komplizierte Beweise gibt es genug.
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