Ellipsen Funktion für Ausrundung

11.10.2017, 20:33

punktlandung3

Ellipsen Funktion für Ausrundung

Meine Frage:
Hallo!

Ich möchte die Enden zweier Linien durch eine Kurve verbinden und beide Enden sollen im Anstieg gleich mit der Kurve sein, monoton verlaufen.

Als erstes habe ich an Ellipsen gedacht, aber leider war das bei mir in der Schule nicht Thema. Ich habe jetzt eine Notlösung gefunden, aber keine zufriedenstellende Möglichkeit, die Ableitung der Ellipse zu bestimmen oder zu verwenden.

Wie ist da ranzugehen oder gibt es ganz andere Möglichkeiten?

Meine Ideen:
Der Ansatz:

1) Alles wird gedreht und geschoben, bis eine Linie auf der X-Achse liegt und mit dem Endpunkt in 0.
2) Die zweite Linie $\begin{eqnarray*} y= mx+ c \end{eqnarray*}$ müsste mit der umgestellten Tangentenform der gesuchten Ellipse $\begin{eqnarray*} y = -b^{2}x_{2}/a^{2}y_{2}*x +b^{2}/y_{2} \end{eqnarray*}$ in beiden Summanden identisch sein.
3) Gegeben sind der verbleibende Endpunkt und Tangentenpunkt $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{2}, y_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{1} (0;0), m, c \end{eqnarray*}$ der zweiten Linie, die Bedingung dass die Ellipse auf der Linie x=0 liegen soll.

D.h. $\begin{eqnarray*} c = b²/y_{2} \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} m*x = -(b²x_{2}/a²y_{2})*x \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} b^{2}/a^{2} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen - das funktioniert nicht? Wieso?

11.10.2017, 20:51

sibelius84

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Hallo punktlandung3,

leider kann ich aus deinen Angaben nur raten, was du meinst:

Du hast zwei Strecken, sagen wir mal eine von P(-1/-1) nach Q(2/5), und eine weitere von R(3/7) nach Q(5/8), und möchtest nun eine Kurve / Funktionsgraph einer Funktion f von Q nach R so legen, dass die Strecken jeweils tangential anliegen, richtig? Sprich, dass f'(2) gleich der Steigung der Geraden durch P und Q, und f'(3) gleich der Steigung der Geraden durch R und S ist?

Falls ich richtig rate, dann versuch doch einfach einen Ansatz über eine ganzrationale Funktion möglichst geringen Grades.

Dein Ansatz über die Ellipse wäre m.E. dann irgendwo zwischen Genie und Wahnsinn - zwischen weit hergeholt und visionär Augenzwinkern

Wir wissen ja nur zu gut, dass all dies oft nah beieinander liegt. Tatsächlich könnte man das Problem denke ich sogar "konstruktiv" (will hier heißen: mit Zirkel und Lineal) lösen und nachher die Ellipsengleichung erstellen. Falls deine Aufgabe so ähnlich geartet ist wie meine oben, dann denke ich auch, dass du Recht hast, dass man eine echte Ellipse braucht und mit einem herkömmlichen Kreis nicht auskommt.

Viele Grüße,
sibelius84

11.10.2017, 20:52

punktlandung3

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11.10.2017, 21:04

sibelius84

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12.10.2017, 09:12

Steffen Bühler

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Wären Splines eine Möglichkeit?

Viele Grüße
Steffen

16.10.2017, 13:59

punktlandung3

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Zitat:

Du hast zwei Strecken, sagen wir mal eine von P(-1/-1) nach Q(2/5), und eine weitere von R(3/7) nach Q(5/8), und möchtest nun eine Kurve / Funktionsgraph einer Funktion f von Q nach R so legen

Genau! Was schlägst du vor als ganzrationale Funktion? Verglichen mit der Ellipse hätte ich zwei Parameter für die Streckung/Stauchung und einen für die Position. Der Nulldurchgang der Funktion soll ja in einem der beiden Punkte liegen (ist vermutlich leichter so). Da wäre ich dann bei quadratischen Funktionen und das geht nicht, habe es bereits versucht.

smile

der Graph ist nur ein Beispiel, Funktion A ist auf y=0 gelegt, Funktion B =3x - 45 und die Zielfunktion trifft beide FAST so wie es soll. !Es geht auf jeden Fall um eine konvexe Linie, beide Punkte sollen ohne Unterbrechung so schnell wie möglich verbunden werden.

16.10.2017, 14:34

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von punktlandung3

Zitat:

Du hast zwei Strecken, sagen wir mal eine von P(-1/-1) nach Q(2/5), und eine weitere von R(3/7) nach Q(5/8), und möchtest nun eine Kurve / Funktionsgraph einer Funktion f von Q nach R so legen

Genau! Was schlägst du vor als ganzrationale Funktion?

Wenn Du den erwähnten Spline nimmst, ist das eine kubische Funktion. Falls Du mit dem verlinkten Workshop nicht klarkommst, melde Dich.

17.10.2017, 14:17

Huggy

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Wenn Du den erwähnten Spline nimmst, ist das eine kubische Funktion. Falls Du mit dem verlinkten Workshop nicht klarkommst, melde Dich.

Du brauchst daraus nur den ersten Beitrag von Steffen Bühler ganz am Ende. Und das kennst du vielleicht noch aus der Schule unter Steckbriefaufgaben. Es ist dazu im allgemeinen auch nicht notwendig, die Punkte in eine spezielle Lage zu bringen. Für mein Beispiel habe ich es trotzdem gemacht.

Es gibt allerdings zwei Komplikationen:
(1) Das Polynom 3. Grades kann innerhalb des Verbindungsstücks einen Wendepunkt haben. Es ist dann nicht konvex, wie von dir gewünscht (siehe unteres Beispiel).
(2) Wenn die Verbindungskurve in eine Strecke in Richtung der Strecke einmünden soll, wird das nicht immer mit einer Funktion möglich sein. Man braucht dann allgemeinere Kurven. Das ist in meinem Beispiel der Fall, wenn die rechten Strecken die braunen Strecken wären anstatt der grünen, der Einmündungspunkt aber unverändert bliebe.

[attach]45408[/attach]

22.10.2017, 14:05

punktlandung3

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Ok! Weil es um Funktionen geht können sie nicht beliebig herumkurven und gedreht werden. Das verstehe ich. Trotzdem ist das alles mehr vertrackt, als ich zuerst angenommen hatte.

Noch eine Frage dazu: Eigentlich interessieren ja nur die Parameter wie Anstieg etc. und bevor ich nach einfachen Splines gesucht hatte, dachte ich man kann so eine Kurve einfach numerisch durch verschachtelte Funktionen erzeugen, y=mx+b, m(t)=tn+c, t =f(?) usw. Bekäme ich rein theoretisch etwas anderes als mit einer analytischen Funktionskurve?

Beste Grüße und vielen Dank.

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