Zeige Partition aller endlichen Teilmengen einer abzählbar unendlichen Menge X ist abzählbar unendl.

11.10.2017, 23:40	armeu	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige Partition aller endlichen Teilmengen einer abzählbar unendlichen Menge X ist abzählbar unendl. Meine Frage: Sei X eine abzählbar unendliche Menge und P_f(X) := {Y ? P(X) \| \|Y \| < ?} die Menge aller endlichen Teilmengen von X. Zeigen Sie, dass P_f(X) abzählbar unendlich ist. Meine Ideen: Durch definieren einer Menge X_k := {A ? P(X) \| A hat höchstens k Elemente} für k ? N wollte ich zeigen dass diese Vereinigungen X_k von endlichen Teilmengen abzählbar unendlich sind.
12.10.2017, 19:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die disjunkte Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar. Nun kann man sich leicht überlegen, dass die cartesischen Produkte $\begin{eqnarray} \mathbb N^k, k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ abzählbar sind (gehe genau so vor wie bei der Abzählung von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , nur eben für beliebige $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ statt für $\begin{eqnarray} k=2 \end{eqnarray}$ ). Da $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ abzählbar ist, zählen wir $\begin{eqnarray} X=\{x_1,x_2,...\} \end{eqnarray}$ irgendwie ab und übertragen den Beweis ganz leicht von $\begin{eqnarray} P_f(\mathbb N) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} P_f(X) \end{eqnarray}$ .

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