Matrixbeweis

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Pythagoras 1235 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixbeweis
Ich habe zwei quadratische Matrizen A und B gegeben:
Ich soll beweisen dass (A-B)(A+B) = A^2 - B^2, gdw AB=BA
Meine Idee
Ausmultiolizieren:
A^2+ AB -BA - B^2 wegen der Kommutativität von A und B folgt die Behauptung.
Ist das schon der ganze Beweis?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn vorausgesetzt wird, dass A, B kommutieren, dann ist dies der ganze Beweis.
Pythagoras 1235 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke. War nur irritierd, dass es 3 Punkte auf die Aufgabe gibt Freude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixbeweis
Zitat:
Original von Pythagoras 1235
Ich soll beweisen dass (A-B)(A+B) = A^2 - B^2, gdw AB=BA

Nun ja, du mußt hier ja auch eine Äquivalenz beweisen, also .

Was du jetzt hast, ist die "<=="-Richtung.
Pythagoras 1235 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixbeweis
Wie mache ich das? Ich gehe von A^2-B^2 aus?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixbeweis
Nein, du gehst von der Gleichung aus.
 
 
Pythagoras 1235 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixbeweis
Wieso habe ich die Rückrichtung schon bewiesen. Ich bin doch von links nach rechts gegangen unglücklich LOL Hammer
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RE: Matrixbeweis
Nein du hast die Gültigkeit der Gleichung bewiesen, indem du (A-B)*(A+B) ausgerechnet hast und dann verwendet, daß AB=BA gilt. Also hast du die rechte Seite der Äquivalenz vorausgesetzt und die linke Seite der Äquivalenz bewiesen. smile
Pythagoras 1235 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixbeweis
Ok jetzt verstehe ich das. smile
Für die andere Richtung weis ich nicht was ich zeigen soll. Soll ich von AB=BA weiterrechnen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixbeweis
Du nimmst die Gleichung , löst die Klammer auf der linken Seite auf und sortierst dann nach AB um. Augenzwinkern
Pythagoras 1235 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixbeweis
Also A^2+AB-BA-B^2 und dann?
Das habe ich doch schon gemacht? Hammer
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RE: Matrixbeweis
Da stand doch eine Gleichung. Also:

Und jetzt stellst du nach AB um.
Pythagoras 1235 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixbeweis
Aha Big Laugh
Nach Umstellen nach AB = B^2 -A^2 +A^2-B^2 + BA=BA

D.h bei bei dieser Äquivalenz habe ich für die Richtung nach rechts nachgewiesen, dass aus der Gleichung folgt AB=BA.
Die andere Richtung, dass ich die rechte Seite der Gleichung erhalte durch die Benutzung von AB=BA
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RE: Matrixbeweis
Korrekt. Freude
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