Beschränktheit der Fourierkoeffizienten beweisen

12.10.2017, 11:55

Ralf1202

Beschränktheit der Fourierkoeffizienten beweisen

Hallo zusammen Wink

Ich habe ein Problem, die folgende Aussage zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{|a_{n}|+|b_{n}|}{n} <\infty \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ Fourierkoeffizienten einer nicht näher definierten Funktion sind.
Der Assistent hat uns gesagt, dass wie Cauchy Schwarz anwenden sollen, ich sehe aber beim besten Willen nicht wo und drehe mich ziemlich im Kreis verwirrt

Ich hoffe jemand kann mir hier etwas auf die Sprünge helfen smile

12.10.2017, 11:58

IfindU

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RE: Beschränktheit der Fourierkoeffizienten beweisen
Ein bisschen sollte schon über die Funktion bekannt sein, so sollte sie vermutlich in $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ liegen. Für $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ ist die Aussage ~~zu trivial~~ vermutlich falsch.

Schreibe jedenfalls $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1 n \cdot ( |a_n| + |b_n| ) = \left \langle \left( \frac 1 n \right)_{n \geq 1}, (|a_n| + |b_n|)_{n\geq 1} \right \rangle_{\ell^2} \end{eqnarray*}$ .

13.10.2017, 10:19

Ralf1202

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Vielen Dank erst mal smile

Dann kann ich Cauchy Schwarz anwenden und bekomme somit dass der letzte Ausdruck kleiner ist als:

$\begin{eqnarray*} ||\frac{1}{n}||*||a_{n} +b_{n}|| \end{eqnarray*}$

Soll ich hiervon nun den limes nehmen um die Aussage zu beweisen?

$\begin{eqnarray*} ||\frac{1}{n}|| \end{eqnarray*}$
konvergiert ja nämlich gegen 0 für den limes n gegen unendlich. Folgt daraus schon die Aussage?

13.10.2017, 10:24

IfindU

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Es gibt, wenn man es sauberer aufschreibt (siehe oben bei mir) keine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Abhängigkeit. Beachte, dass es hier die $\begin{eqnarray*} \ell^2 \end{eqnarray*}$ Norm ist. Also ist
$\begin{eqnarray*} \left \| \left ( \frac 1 n \right)_{n\geq 1}\right \|_{\ell^2}^2 = \sum_{n = 1}^\infty \left ( \frac 1 n\right)^2 \end{eqnarray*}$ .

13.10.2017, 10:44

Ralf1202

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Oh stimmt ja geschockt

Diese Summe ist ja beschränkt, bzw. hat den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{\pi^{2} }{6} \end{eqnarray*}$ . Deshalb muss ich zeigen, dass die Summe der Fourierkoeffizienten beschränkt ist.
In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass die Fourierkoeffizienten beim limes n gegen unendlich gegen 0 gehen. Somit bilden sie eine Nullfolge, das Trivialkriterium (also die Nullfolge) wäre in dem Fall für die Reihenkonvergenz gezeigt.

Bin ich damit auf dem richtigen Weg? Oder verstehe ich hier etwas völlig falsch verwirrt

13.10.2017, 10:51

IfindU

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Dass sie eine Nullfolge bilden, ist schon einmal wichtig. Aber daraus folgt nicht, dass sie quadratisch-summierbar sind. Im Allgemeinen stimmt es auch nicht. Hier ist es wichtig, dass die Funktion, zu der die Koeffizienten gehören, in $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ ist. Dann sind konvergiert nämlich diese Reihe über die Fourierkoeffizienten.

Schau mal nach, ob ihr den Satz von Parseval gezeigt habt.

13.10.2017, 10:57

Ralf1202

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Ja, haben wir, in folgender Form:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi } \! f(x)*g(x) \, dx = \sum\limits_{k=-\infty }^{\infty } c_{k}*d_{k}^* \end{eqnarray*}$
wobei ck und dk die Fourierkoeffizienten von f bzw. g sind und der Stern bei d das komplex konjugierte bedeutet.
Aber ich sehe hier nicht ganz, was ich damit anfangen soll verwirrt

13.10.2017, 11:08

IfindU

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Setze mal $\begin{eqnarray*} f =g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ soll die Funktion sein, zu der die Fourierkoeffizienten $\begin{eqnarray*} a_k, b_k \end{eqnarray*}$ gehören. Dann kannst du $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ Koeffizienten (zugehoerenden zu $\begin{eqnarray*} \exp(i k x) \end{eqnarray*}$ durch die entsprechende (allgemeingültige) Relation mit den Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_k, b_k \end{eqnarray*}$ (zugehoerend zu $\begin{eqnarray*} \sin(kx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(kx) \end{eqnarray*}$ ) ersetzen.

13.10.2017, 11:16

Ralf1202

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Das ergibt mir nun:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi } \! f(x)^2 \, dx =\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty } \frac{1}{4} *(a_{k}^2+b_{k}^2) \end{eqnarray*}$
War das so gemeint?

13.10.2017, 11:18

IfindU

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So in etwa. Aber etwas stimmt auf der rechten Seite noch nicht. Die Reihe sollte nach dem Einsetzen von $\begin{eqnarray*} a_k, b_k \end{eqnarray*}$ nur noch von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ laufen.

Vergleiche dann die Reihe mit der Norm, die du noch abschätzen wolltest. Es endet dann damit, dass die Norm endlich ist, wenn das Integral links endlich ist. Und hier braucht man eben ein paar Annahmen an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

13.10.2017, 11:31

Ralf1202

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die Norm vom Anfang war ja
$\begin{eqnarray*} ||a_{n} +b_{n} ||=\sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n} +b_{n}|^2\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n}|^2+|b_{n}|^2 \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt meine Summe noch anpasse aus dem letzten Beitrag, ergibt sich dafür:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{4} (a_{n}^2 +b_{n}^2) \end{eqnarray*}$ (oder ist das noch mit 2 multipliziert?)
Jedoch sehe ich hier jetzt nicht, wie ich die Summe vernünftig abschätzen soll. Höchstwahrscheinlich sehe ich den Wald vor lauten Bäumen nicht...

13.10.2017, 11:47

IfindU

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Korrektur:
$\begin{eqnarray*} ||a_{n} +b_{n} ||^2=\sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n} +b_{n}|^2\leq 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty } (|a_{n}|^2+|b_{n}|^2) \end{eqnarray*}$
Links fehlt das Quadrat und rechts eine 2. Alternativ
$\begin{eqnarray*} ||a_{n} +b_{n} ||=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n} +b_{n}|^2}\leq \sqrt {\sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n}|^2}+\sqrt {\sum\limits_{n=1}^{\infty } |b_{n}|^2} \end{eqnarray*}$ mit der Dreicksungleichung für Normen.

Zitat:

Wenn ich jetzt meine Summe noch anpasse aus dem letzten Beitrag, ergibt sich dafür:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{4} (a_{n}^2 +b_{n}^2) \end{eqnarray*}$ (oder ist das noch mit 2 multipliziert?)

Mit 2 multipliziert. Du müsstest sorgsamer einsetzten, dann bekommt man es raus.

Zitat:

Jedoch sehe ich hier jetzt nicht, wie ich die Summe vernünftig abschätzen soll. Höchstwahrscheinlich sehe ich den Wald vor lauten Bäumen nicht...

Du hast
$\begin{eqnarray*} ||a_{n} +b_{n} ||^2\leq 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty } (|a_{n}|^2+|b_{n}|^2) = \frac 2 \pi \int_0^{2\pi} f(x)^2 dx \end{eqnarray*}$ .
Und das Integral sollte als Endlich vorausgesetzt werden -- sonst gilt die Aussage, die du zeigen willst, gar nicht.

13.10.2017, 11:49

Ralf1202

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Ich glaube, ich habe es jetzt endlich begriffen Big Laugh

Danke viel vielmals für die schnellen und äusserst hilfreichen Antworten.
Noch einen schönen Tag Wink

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