Integralrechnung

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12.10.2017, 18:43	Wolly	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung Meine Frage: Hallo, ich bin Rentner und bringe mir zurzeit höhere Mathematik bei. Ich habe folgendes Problem: Das Volumen einer Halbkugel mit dem Radius 5 möchte ich über die Scheibenmethode, also die Halbkugel in unendlich vielen Scheiben zerteilen, jees einzelne Volumen berechnen und dann alle Teilvolumen addieren. Ichn habe dazu folgende Gleichung aufgestellt. F(x) = r^2 - x^2 mit dieser Funktion ermittle ich für jede einzene Scheibe ihren Radius^2 (5^2 - ((5-(5/n 1)^2) Pi * 5/n))) + (5^2 - (5- 5/n 2)^2)))Pi * 5/n usw Wenn ich diese Gleichung ausmultipliziere erhalte ich genau 1/4 Volumen der Halbkugel, und nicht das ganze Volumen einer Halbkugel. Wo liegt mein Fehler? Vielen Dank für eine Antwort Meine Ideen: Ich habe, wie bereits oben beschrieben, die Halbkugel gedanklich in unendlich viele Scheiben geschnitten und für jede einzelne Scheibe ihren Radius (5^2 - x^2) ermittelt. Für x^2 habe ich (5-5/n1)^2), bzw. (5-(5/n)2) usw. eingesetzt. Für die Scheibenddicke steht 5/n und 5^2 ist der Radius^2 (Hypotonuse) Fertige Gleichung: 5^2 -((5- 5 / n) 1)^2) Pi * 5/n + (5^2 - (5-5/n2)^2 Pi * 5 / n usw.
13.10.2017, 00:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Volumen eines einzelnen - und zwar des k-ten - Elementarzylinders ist bei deinem Ansatz $\begin{eqnarray} V_z = \left(r^2 - (r - \frac {rk} n)^2\ \right) \pi \frac r n \end{eqnarray}$ Dieser Term ist nun zu vereinfachen, $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r^3 \end{eqnarray}$ auszuklammern und die Reihensumme von k = 1 bis n zu bilden. Bleibe bei der Rechnung besser allgemein bei r anstatt 5, die 5 kann am Ende eingesetzt werden. Wenn diese Summe ("Obersumme") berechnet ist, was durchaus einigen Anspruch erfordert, und wobei auch nicht sicher ist, ob du diese richtig berechnet hast, ist der Grenzwert für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ zu ermitteln. Auch darüber sind wir nicht informiert, ob und wie du dies berechnet hast. Bei ordnungsgemäßer Rechnung erhält man das Resultat $\begin{eqnarray} V = \frac 2 3 r^3 \pi \end{eqnarray}$ , tatsächlich das Volumen der Halbkugel. () Erforderlich sind dazu die Summenformeln der Reihen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} k^2 \end{eqnarray}$ Wenn du deine Rechnung jetzt noch näher erläuterst, kann so dein Problem sicher geklärt werden. mY+
13.10.2017, 09:59	Wolly	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung Volumen Kugel Hallo mmythos, vielen Dank für Deine Antwort. Meine Rechnung ergab folgendes Ergebnis: Ausmultipliziert: r^2 - r^2 + r^2 / n^2 * Pi * r / n (2n^3 + 3 n^2 + n) / 6 = r ^3 / n ^3 * Pi ( 2 n^3 + 3 n^2 + n) / 6 = r^3 / 6 * Pi (2 n^3 + 3n ^2 + n) / n ^3 = r ^3 / 6 * Pi (2 + 0 + 0)= 130,8996 entspricht 1 / 4 des Kugelvolumens Wo habe ich falsch gerechnet?
13.10.2017, 10:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Symbolik ist extrem unübersichtlich zu lesen, es wäre besser, du würdest auf die Notation von mYthos einschwenken. Was aber sofort auffällt: Es ist in deiner Rechnung an keiner Stelle zu erkennen, wo die Scheibennummer (bei mYthos ist das $\begin{align} k \end{align}$ ) in die Rechnung eingeht - und das muss sie, da jede Scheibe nach oben hin immer weniger Volumen hat. Und auch nicht zu erkennen ist, wo die Summation über die Scheiben stattfindet - anscheinend hat sie schon stattgefunden? Du klatschst nur eine Endformel hin, die wer weiß woher kommt - wie soll man da einen Fehler benennen? Man kann nur mutmaßen, dass der Fehler in dem Teil, den du nicht aufgeschrieben hast, stattgefunden hat, d.h. bei der Summation.
13.10.2017, 10:30	Wolly	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung Volume Kugel Hallo HAL 9000 danke für Deinen Hinweis. Wie finde ich diese Notation?
13.10.2017, 10:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die LaTeX-Notation? Überall hier im Board. Du kannst z.B. beim obigen mYthos-Beitrag auf "zitat" klicken, dann siehst du, wie er die Summen da geschrieben hat.
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13.10.2017, 14:40	outSchool	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Wolly, ich denke du hast mit deinem Beispiel so einige Verständnisprobleme. Versuche doch mal das Rotationsvolumen einer beliebigen Funktion herzuleiten. - Bei Rotation einer beliebigen Funktion bilde zuerst die Obersummen (bzw. Untersummen). - Durch Rotation entstehen aus den Obersummen Zylinderscheiben. - Das Volumen einer Zylinderscheibe ist: $\begin{align} V_{Zyl} = \pi \cdot r^{2} \cdot h = \pi \cdot r^{2} \cdot \Delta x \end{align}$ - Mit f(x) = r folgt: $\begin{align} V_{Zyl} = \pi \cdot (f(x))^{2} \cdot \Delta x \end{align}$ Warum ist $\begin{align} h = \Delta x \end{align}$ und f(x) = r ? - Das Volumen von n Zylinderscheiben im Intervall x = [a, b] ist dann: $\begin{align} V_n = \pi \cdot (f(x_1))^{2} \cdot \Delta x + ... + \pi \cdot (f(x_k))^{2} \cdot \Delta x + ... + \pi \cdot (f(x_n))^{2} \cdot \Delta x \end{align}$ - oder in Kurzschreibweise $\begin{align} V_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \pi \cdot (f(x_k))^{2} \cdot \Delta x \end{align}$ - Das Volumen des Rotationskörpers im Intervall x = [a, b] ist dann der Grenzwert für $\begin{align} n \rightarrow \infty \end{align}$ also $\begin{align} V_{rot} = \lim_{n \to \infty } V_k = \pi \int_{a}^{b} \! (f(x))^{2} \, dx \end{align}$ Mach dir auch hier deutlich, wie man von der Summe der Zylinderscheiben durch Grenzwertbildung auf das Volumen des Rotationskörpers kommt. Edit: siehe Anmekung von HAL unten. Für die Halbkugel ist dann f(x) = r² - x² im Intervall x = [0, r]. Wie kommt man auf f(x) = r² - x² ?
13.10.2017, 18:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@outSchool Im Rahmen deiner Ausführungen sollte es in den letzten beiden Zeilen dann aber $\begin{align} f(x)=\sqrt{r^2-x^2} \end{align}$ heißen.
13.10.2017, 21:01	outSchool	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL 9000 Du hast natürlich Recht. Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich habe oben noch ein Edit eingefügt. Ich hoffe, es stiftet nicht unnötig Verwirrung.

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