Vektornorm einer Funktion nachweisen |
13.10.2017, 16:08 | Sarah16695 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vektornorm einer Funktion nachweisen Gegeben sei eine Vektornorm und eine quadratische Matrix M. Ich soll zeigen, dass die Funktion: IIxIIM = IIMxII ebenfalls eine Vektornorm ist. Meine Ideen: Um das zu zeigen muss ich doch die 3 Eigenschaften: Positivität, Homogenität und Dreiecksungleichung zeigen? zur Positivität hab ich mir überlegt, dass IIMxII ja aufgrund der Eigenschaften der Norm positiv sein muss oder eben = 0, wenn M eine Nullmatrix ist. zur Homogenität habe ich folgenenden Ansatz überlegt (?): IIa*MxII = IaI*IIMxII zur Dreiecksungleichung: IIMx + MyII < IIMxII + IIMyII Irgendwie komm ich damit aber gar nicht weiter ?? |
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14.10.2017, 19:39 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es wäre schön, wenn du für Normen || verwendest (oder noch besser Latex ) statt II. Zu zeigen ist also, dass eine Norm definiert, wobei eine Norm ist. Soll invertierbar sein? Ansonsten stimmt das nämlich gar nicht.
Du musst zeigen, dass genau dann gilt, wenn ist. Und an dieser Stelle brauchst du die Invertierbarkeit von . (Für die Nullmatrix beispielsweise gilt das nicht.) Die Idee bei der Homogenität ist richtig; da du aber zeigen willst, sollte der Nachweis mit diesen beiden Termen beginnen und enden: . Genauso bei der Dreiecksungleichung: . (mit einem kleiner/gleich, statt echt kleiner). Das kannst du zeigen, indem du die Dreiecksungleichung für verwendest. Bei allen drei Eigenschaften gilt: Sauber aufschreiben, was zu zeigen ist; Definition von benutzen und dann schauen, wie man die Normeigenschaften von verwenden kann. |
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