Vektornorm einer Funktion nachweisen

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Sarah16695 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektornorm einer Funktion nachweisen
Meine Frage:
Gegeben sei eine Vektornorm und eine quadratische Matrix M.
Ich soll zeigen, dass die Funktion: IIxIIM = IIMxII ebenfalls eine Vektornorm ist.

Meine Ideen:
Um das zu zeigen muss ich doch die 3 Eigenschaften: Positivität, Homogenität und Dreiecksungleichung zeigen?

zur Positivität hab ich mir überlegt, dass IIMxII ja aufgrund der Eigenschaften der Norm positiv sein muss oder eben = 0, wenn M eine Nullmatrix ist.

zur Homogenität habe ich folgenenden Ansatz überlegt (?): IIa*MxII = IaI*IIMxII

zur Dreiecksungleichung: IIMx + MyII < IIMxII + IIMyII

Irgendwie komm ich damit aber gar nicht weiter ??
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre schön, wenn du für Normen || verwendest (oder noch besser Latex ) statt II.
Zu zeigen ist also, dass eine Norm definiert, wobei eine Norm ist.

Soll invertierbar sein? Ansonsten stimmt das nämlich gar nicht.


Zitat:
Original von Sarah16695
oder eben = 0, wenn M eine Nullmatrix ist.

Du musst zeigen, dass genau dann gilt, wenn ist. Und an dieser Stelle brauchst du die Invertierbarkeit von . (Für die Nullmatrix beispielsweise gilt das nicht.)

Die Idee bei der Homogenität ist richtig; da du aber zeigen willst, sollte der Nachweis mit diesen beiden Termen beginnen und enden: .

Genauso bei der Dreiecksungleichung: . (mit einem kleiner/gleich, statt echt kleiner). Das kannst du zeigen, indem du die Dreiecksungleichung für verwendest.


Bei allen drei Eigenschaften gilt: Sauber aufschreiben, was zu zeigen ist; Definition von benutzen und dann schauen, wie man die Normeigenschaften von verwenden kann.
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