Norm-Ungleichung

13.10.2017, 20:20

forbin

Norm-Ungleichung

Hallo,

es soll folgendes gezeigt werden:
$\begin{eqnarray*} ||x-y|| \geq | ||x|| - ||y|| | \end{eqnarray*}$
Auf der rechten steht also der Betrag von ||x|| - ||y||. Bekomme das nicht schöner angezeigt. Jemand einen Tipp, wie ich da ein Leerzeichen reinbekomme?

Ich habe mir überlegt, den Betrag auf der rechten Seite zu schreiben als: $\begin{eqnarray*} \sqrt{(||x|| - ||y||)^{2}} \end{eqnarray*}$

Da beide Seiten größergleich null sind, kann ich quadrieren und komme auf:
$\begin{eqnarray*} ||x-y||^{2} \geq (||x||-||y||)^2 \end{eqnarray*}$
Die linke Seite forme ich um mittels:
$\begin{eqnarray*} ||x-y||^{2} = <x-y,x-y> = ... = ||x||^{2} + ||y||^{2} -2Re<x,y> \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite ergibt ausmultipliziert $\begin{eqnarray*} ||x||^{2} + ||y||^{2} -2||x||\cdot ||y|| \end{eqnarray*}$

Mir bleibt also zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} -2Re<x,y> \geq -2||x||\cdot ||y|| \Leftrightarrow Re<x,y> \leq ||x|\cdot ||y|| \end{eqnarray*}$

Da hänge ich nun dran, zumal mir das auch ein bisschen weit ausgeholt erscheint.
Wie könnte ich nun sinnvoll weitermachen? verwirrt

13.10.2017, 21:11

ML_

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RE: Norm-Ungleichung
Hallo,

Zitat:

es soll folgendes gezeigt werden:
$\begin{eqnarray*} ||x-y|| \geq | ||x|| - ||y|| | \end{eqnarray*}$
Auf der rechten steht also der Betrag von ||x|| - ||y||. Bekomme das nicht schöner angezeigt. Jemand einen Tipp, wie ich da ein Leerzeichen reinbekomme?

Halbe Leerzeichen mit

code:
1:	\|\|x\,-\,y\|\|.

Das sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} ||x\,-\,y|| \end{eqnarray*}$

Ganze Leerzeichen mit

code:
1:	\|\|x~-~y\|\|.

Das sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} ||x~-~y|| \end{eqnarray*}$

Ok, es scheint, das hiesige Latex macht diese Unterscheidung nicht.

Viele Grüße
Michael

13.10.2017, 21:35

ML_

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RE: Norm-Ungleichung
Achso, sowas willst Du:

code:
1:	\|\|x-y\|\| \geq \Big{\|} \|\|x\|\| - \|\|y\|\| \Big{\|}

$\begin{eqnarray*} ||x-y|| \geq \Big{|} ||x|| - ||y|| \Big{|} \end{eqnarray*}$

14.10.2017, 11:19

Guppi12

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Es hilft bereits, wenn man die richtigen Normstriche verwendet und nicht einfach zwei Betragsstriche. Diese sind nämlich eigentlich nicht für Doppelstriche gedacht. Man erzeugt diese in Latex mit \|.

Das Ergebnis ist dann $\begin{align*} \|x-y\| \geq |\|x\|-\|y\|| \end{align*}$ .

code:
1:	[mathjax]\\|x-y\\| \geq \|\\|x\\|-\\|y\\|\|[/mathjax]

Dein Ansatz ist leider nicht sehr gut, weil er nur speziell für Normen funktioniert, die von Skalarprodukten kommen. Die Ungleichung gilt aber für jede Norm und solange du nichts anderes dazu schreibst, gehe ich davon aus, dass sie auch für beliebige Normen gezeigt werden soll.

Der übliche Beweis geht so, dass man die Dreiecksungleichung auf $\begin{align*} \|x\| = \|x-y+y\| \end{align*}$ anwendet.

21.10.2017, 15:17

forbin

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Oh, sorry ihr beiden, ich hatte den thread nicht mehr auf dem Schirm traurig

Danke für eure Hilfe!

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