Konvergenz

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Sito Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz
Guten Tag zusammen,

Wir haben gestern in der Vorlesung zwei neue Grenzwertsätze (B. Levi & Lebesgue) eingeführt und sollen nun ein paar Aufgaben dazu lösen. Leider habe ich damit so meine Mühe.. Bei jeder Aufgabe ist wiederum die Frage gestellt worden ob man das Integral mit dem Limes vertauschen kann:

a)

b)

c)

Also die Idee bei allen Aufgaben wäre es jetzt doch eine Funktion zu finden für die gilt: gilt, oder zu zeigen, dass beschränkt ist, dann könnte man den Limes und das Integral vertauschen.
Wenn ich nun aber z.B. bei a) versuche einen der Sätze anzuwenden will das nicht so recht funktionieren. Das Integral ist soweit ich das erkennen kann nicht beschränkt und ich finde auch nicht eine Funktion die grösser ist als . Ähnlich sieht es auch bei b) aus... Und was c) angeht so kenne ich zwar die Definition der charakteristischen Funktion, aber wirklich damit arbeiten kann ich auch nicht...

Wäre froh wenn da jemand etwas nachhelfen könnte.
Gruss Sito
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sito
Das Integral ist soweit ich das erkennen kann nicht beschränkt

Da irrst du dich. Welche Werte nimmt denn der Sinus in dem hier relevanten Intervall an?

Und auch bei b) ist die Beschränkung nicht schwer zu erkennen.
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst mal vielen Dank für die Hinweise!

Zitat:
Da irrst du dich. Welche Werte nimmt denn der Sinus in dem hier relevanten Intervall an?

Hmm, naja der Sinus nimmt in dem Intervall Werte zwischen an. Kann man also sagen, dass im schlimmsten Fall immer Null ist und somit gilt: ?

In dem Fall dürfte man also Integral und Limes vertauschen, was die Frage aufwirft was ist. Um ehrlich zu sein stehe ich auch hier etwas auf dem Schlauch..
Meine Ideen bisher:
- , aber das scheint nicht wirklich zum Ziel zu führen.
- dann habe ich versucht den Sinus zu Taylorn, was aber alles nur noch komplizierter gemacht hat...
Irgendwie sehe ich hier überhaupt nicht was die Idee sein soll..

Bzgl. b) Naja, wenn wir annehmen, dass sich wieder nur im Intervall bewegt ergibt sich: . Irgendwie sehe ich das aber nicht so wirklich, ich meine der Term selber hängt immer noch von ab, inwiefern ist denn dann das Integral wirklich beschränkt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sito
was die Frage aufwirft was ist. Um ehrlich zu sein stehe ich auch hier etwas auf dem Schlauch..
Meine Ideen bisher:
- , aber das scheint nicht wirklich zum Ziel zu führen.

Warum denn so kompliziert? Für alle ist und damit und damit offenkundig . Lediglich an den Randpunkten und kommt was anderes heraus, aber solche Einzelwerte sind für den Integralwert ohne Belang.


Zitat:
Original von Sito
Bzgl. b) Naja, wenn wir annehmen, dass sich wieder nur im Intervall bewegt ergibt sich: .

Wenn du den Zähler durch sein Maximum abschätzt, ist das Ok. Wenn du das im Nenner tust, nicht - die Gesamtabschätzung funktioniert also so nicht. unglücklich

Ausweg: Der Nenner kann per Bernoulli-Ungleichung (oder wahlweise auch Binomischer Satz) gemäß abgeschätzt werden, womit sich für den Gesamtbruch ergibt.
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Ausführungen zum a), da habe ich wohl vor lauter Bäumen mal wieder nicht den Wald gesehen...

Das mit dem Nenner war wohl wirklich nicht sehr weit überlegt... Es hätte es wohl auch nicht wirklich gebracht den Nenner mit seinem Minimum abzuschätzen, oder?

Was den Grenzwert angeht. Nach Bernulli gilt womit also der Nenner schneller wächst als der Zähler und damit der Limes Null sein müsste.. Genügt das als Argument?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Abschätzungen sind nicht dein Ding, was? Bernoulli liefert nur Quotient , aber nicht Grenzwert 0. Da musst du dir schon was anderes einfallen lassen, z.B. eben Binomischen Satz bis zu Glied 2.
 
 
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Abschätzungen sind nicht dein Ding, was?

Das wäre wohl die Untertreibung des Jahres...

Tut mir Leid, aber jetzt komme ich gerade überhaupt nicht mit. Wenn ich den Binomischen Satz bis zum zweiten Glied anwende erhalte ich doch etwas was kleiner ist als , also eine obere Schranke von den Bruch, oder? Inwiefern ist denn das sinnvoll wenn ich den genauen Grenzwert haben will? Möchtest du ein Sandwich machen, oder was genau ist hier die Idee?

btw. wenn du Binomischer Satz bis Glied zwei sagst, meinst du damit: ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine folgendes: Für sowie entwickle ich den Nenner bis Glied 2, schätze dann den Zähler nach oben und den Nenner nach unten ab

.

Für festes konvergiert das rechts im Grenzübergang gegen Null.
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz
Obwohl hier schon einige Helfer fleißig am Antworten sind, darf ich dennoch meine Idee zum Abschätzen des Integranden vorstellen.

Sei .
1) Zeige, dass im gewünschten Integrationsintervall symmetrisch zu ist.
Damit kann man sich auf das Integrationsintervall beschränken.
2) Schätze in diesem Intervall durch die Gerade nach oben ab, wobei diese Gerade durch die beiden Punkte und verläuft.
Eine kleine Zeichnung kann dazu hilfreich sein.
3) Führe für dieses Integral ( fest) die Integration durch.
4) Jetzt den Limes bestimmen.
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmals ein Danke an HAL für die Hilfe. Deinen Vorschlag zyko werde ich später auch noch einmal versuchen durchzurechnen. Vorher aber noch eine Frage:

Wie löst man Aufgabenteil c)?

Ich habe mich an einer ähnlichen Aufgabe versucht und bin folgendermassen vorgegangen:

Die Frage ist nun ob das so funktioniert bzw. stimmt und ob ich die gleiche Idee anwenden kann um meine gestellte Aufgabe zu lösen? Dort würde ich das Ganze einfach in drei Integrale splitten mit den Grenzen , und .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die "Idee" ist einfach, schlicht zu nutzen, dass die Indikatorfunktion außerhalb der sie definierenden Menge gleich Null ist, und somit das Integrationsgebiet auf diese Menge eingeengt werden kann, und innerhalb dann diese Funktion gleich 1 ist: Es ist somit

.
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