Äquivalenzrelation (Knobelaufgabe)

14.10.2017, 11:51	Relation	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation (Knobelaufgabe) Meine Frage: Hallo zusammen, wie geht man beim Lösen folgender Aufgabe vor? Zu zeigen ist, dass die nachfolgende Relation eine Äquivalenzrelation ist. Darüber hinaus sollen wir die Klasseneinteilung beschreiben. Auf der Menge R+ ist folgende Relation definiert: a~b, wenn ein $\begin{eqnarray} k\in Z \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} k\leq a<k+1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k\leq b<k+1 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: R+ = alle ganzen, positiven Zahlen, 0 ist nicht in der Menge enthalten Z = alle ganzen Zahlen, einschließlich 0. Zum Beweis der Äquivalenzrelation: Um zu zeigen, dass es sich bei einer Relation um eine Äquivalenzrelation handelt, muss man diese ja auf Reflexiviät, Symmetrie und Transitivität überprüfen. Doch wie gehe ich bei der oben genannten vor? Neu für mich ist, dass 3 Variablen vorkommen... Zur Klasseneinteilung: Sei k = 1 $\begin{eqnarray} 1\leq a<1+1 \end{eqnarray}$ . Für a kommt dann nur 1 in Frage, weil 1 in der Menge R+ enthalten ist, oder? 1,5 z.B. nicht. Sei k = -1 $\begin{eqnarray} -1\leq a<-1+1 \end{eqnarray}$ . Für a kommt nur -1 in Frage, oder? Wie sieht das aber mit k = 0 aus? $\begin{eqnarray} 0\leq a<0+1 \end{eqnarray}$ Diesen Fall gibt es nicht, weil die Relation nur nur die Menge R+ betrifft, oder? D.h., die Klassen werden von den verschiedenen Zahlen, die in der Menge Z enthalten sind, gebildet, oder? Allerdings gibt es keine Klasse "0", oder? Danke im Voraus. LG
14.10.2017, 12:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hast du falsch verstanden. Die Relation ist für positive reelle Zahlen definiert. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray} \pi\sim 3.14159265359\sim 3.141592653\sim 3.1415926\sim 3.14159\sim 3.141\sim 3 \end{eqnarray}$ , weil alle diese reellen Zahlen zwischen den ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 4=3+1 \end{eqnarray}$ liegen.
14.10.2017, 13:11	Relation	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für Deine Antwort. Ich hatte ein falsches Verständnis von reellen Zahlen. Au weia, habe da wohl was verwechselt. Aber durch dein Beispiel ist mir jetzt klar geworden, was damit gemeint ist, danke. Zu deinem Beispiel: $\begin{eqnarray} 3\leq \pi <3+1 \end{eqnarray}$ . k = 3 und a = Pi, oder? Also bilden die positiven reelen Zahlen, die in der Menge R+ enthalten sind, die Klassen?! Aber wie kann man zeigen, dass es sich hierbei tatsächlich um eine Äquivalenzrelation handelt? LG
14.10.2017, 13:17	Relation	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrektur a = alle positiven reellen Zahlen, die zwischen 3 und 4 liegen.
14.10.2017, 14:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
reflexiv: jede positive reelle Zahl a liegt zwischen zwei ganzen Zahlen k und k+1, also a~a symmetrisch: a~b, dann liegen a und b zwischen k und k+1 ... wo liegen dann b und a genau so einfach für die Transitivität. Eine Klasse [k] sind alle positiven reellen Zahlen a, die zwischen k und k+1 liegen, denn genau für diese gilt a~k. Irgendwo müssen die reellen Zahlen sein, und die Äquivalenzrelation zerlegt die positiven reellen Zahlen in disjunkte Klassen, das sind hier offensichtlich das offene Intervall (0,1) und die halboffenen Intervalle [k,k+1) mit natürlichen Zahlen k. Merke: Äquivalenzrelationen zerlegen Mengen in Klassen. Umgekehrt definiert jede Klasseneinteilung eine Äquivalenzrelation.
14.10.2017, 14:13	Relation	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt plausibel, lieben Dank! Wie bist Du auf die beiden Intervalle gekommen? offenes Intervall (0,1) und die halboffenen Intervalle (k,k+1) mit natürlichen Zahlen k. LG
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14.10.2017, 14:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Intervalle enthalten genau die reellen Zahlen, die nach Definition der Äquivalenzrelation zueinander äquivalent sind. a~b heißt, es gibt ein k, so dass a und b zwischen k und k+1 liegen. Vielleicht solltest du einmal deine Aufgabe durchlesen. Ich weiß nicht, was ich noch mehr erklären könnte.

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