Direkter Beweis und indirekter Beweis(Teilbarkeit)

14.10.2017, 17:02

Momo42

Direkter Beweis und indirekter Beweis(Teilbarkeit)

Meine Frage:
Hallo es geht um Beweise.

zz. Aussage : Aus a | b folgt ac|bc für alle c Element Z.

Meine Ideen:
Ich weiß das der Beweis sehr einfach direkt zu zeigen ist. Ich wollte nur mal fragen ob es auch indirekt richtig ist :

Indirekter Beweis : Zunächst habe ich die Negation der Aussage gebildet : Aus a | b folgt ac teilt nicht bc
Wenn ich nun zeige das diese Aussage falsch ist habe ich doch gezeigt das aus a | b ac | bc folgt oder nicht ?

Der Beweis das die Aussage falsch ist : wenn a | b dann gibt es ein f mit b=af aus dem Folgt bc= (af)c =f(ac) also gilt nicht ac teilt nicht bc.

Stimmt das was ich gemacht habe ? Ich muss ein Seminar halten und ich will den Leuten die verschiedenen Arten der Beweistechnik näher bringen

14.10.2017, 18:22

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt nicht. Du hast lediglich den direkten Beweis geführt, der nach deiner eigenen Meinung sehr einfach ist. Das Drumherumreden ist kein indirekter Beweis. Das Beispiel ist so unglücklich gewählt, dass mir kein indirekter Beweis gelingt ... wir haben ein Problem traurig

Vielleicht hilft es dir weiter, wenn du das Wiki-Beispiel benutzt : https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_(Mathematik)
Noch viel besser gefällt mir der klassische Beweis (von Euklid ?), dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ nicht rational ist. Genau so gut ist der klassische Beweis (ganz sicher von Euklid), dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Das sind 2 Höhepunkte der Mathematik und glänzende Beispiele für indirekte Beweise, weil mir auf Anhieb (oder überhaupt) kein direkter Beweis einfällt.

14.10.2017, 18:38

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Direkter Beweis und indirekter Beweis(Teilbarkeit)

Zitat:

Original von Momo42
Indirekter Beweis : Zunächst habe ich die Negation der Aussage gebildet : Aus a | b folgt ac teilt nicht bc

Das stimmt nicht. Die Negation einer Implikation $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A\wedge \neg B \end{eqnarray*}$ .

Die Aussage B ist hier $\begin{eqnarray*} \forall c\in\mathbb Z: ac\mid bc \end{eqnarray*}$ ; deren Negation ist $\begin{eqnarray*} \exists c\in\mathbb Z: ac\nmid bc \end{eqnarray*}$ .

Für einen indirekten Beweis nimmst du also an, dass es $\begin{eqnarray*} a, b\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} a\mid b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists c\in\mathbb Z: ac\nmid bc \end{eqnarray*}$ und führst das zu einem Widerspruch.

14.10.2017, 18:52

Momo42

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und danke für die Antworten!
Das meine Negation falsch ist habe ich verstanden.

Beweis :

Wenn a | b gilt : existiert ein f element Z sodass gilt : b=af. Die Gleichung mal c element Z genommen ergibt

bc=(af)*c = afc= f(ac) nach Definition gilt nun hier ac | bc für alle c.
Das heißt es existiert kein c sodass gilt ac teilt nicht bc.

Stimmt das so ?

Elvis werde ich mir anschauen vielen dank

14.10.2017, 19:13

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Streng genommen hast du zwar gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} a\mid b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists c\in\mathbb Z: ac\nmid bc \end{eqnarray*}$ nicht gleichzeitig gelten kann (das wolltest du ja beim indirekten Beweis machen). Aber eigentlich ist der erste Teil deines Beweises nichts anderes als der direkte Beweis der ursprünglich zu zeigenden Aussage. Augenzwinkern

Man könnte das auch so machen:
Angenommen, $\begin{eqnarray*} a\mid b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists c\in\mathbb Z: ac\nmid bc \end{eqnarray*}$ . Die zweite Bedingung bedeutet: $\begin{eqnarray*} \exists c\in\mathbb Z \ \nexists k\in\mathbb Z: kac=bc \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} 0\mid 0 \end{eqnarray*}$ ist dieses $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ jedenfalls ungleich 0. Dann kann man die letzte Gleichung durch $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ dividieren und erhält: $\begin{eqnarray*} \nexists k\in\mathbb Z: ka=b \end{eqnarray*}$ , was im Widerspruch zu der Annahme $\begin{eqnarray*} a\mid b \end{eqnarray*}$ steht.
Aber schöner als ein direkter Beweis ist das auch nicht. Augenzwinkern

14.10.2017, 19:37

Momo42

Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das mein Beweis ist jetzt falsch oder wie ? Hmm verstehe das nicht so.

In deinem Beweis verstehe ich nur den Teil nicht : Wegen 0 | 0 ist dieses c... verwirrt

14.10.2017, 19:59

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Falsch würde ich nicht sagen. Es ist nur nicht unbedingt sinnvoll, wenn man einen indirekten Beweis führen will und dabei eigentlich nur den direkten Beweis aufschreibt.

Eine Annahme war $\begin{eqnarray*} \exists c\in\mathbb Z: ac\nmid bc \end{eqnarray*}$ . Wäre dieses $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gleich 0, würde da $\begin{eqnarray*} 0\nmid 0 \end{eqnarray*}$ stehen, was aber falsch ist.

14.10.2017, 20:02

Momo42

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok super danke habe alles verstanden smile

Neue Frage »

Antworten »

Direkter Beweis und indirekter Beweis(Teilbarkeit)

Verwandte Themen