Bestimmen von Folgenglieder

14.10.2017, 22:01

Invicator

Bestimmen von Folgenglieder

Meine Frage:
Hallo werte Nutzer dieser Website,

derzeit bereite ich mich für eine anstehende Klausur vor und bin bei meinen Übungen auf ein Problem gestoßen, womit ich schon seit mehreren Versuchen nicht weiter weiß.

Die Aufgabe ist folgend:
Welche Folgenglieder von $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n^{2} + n} \end{eqnarray*}$ sind kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1000} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Ich persönliche habe zunächst Test-Eingaben eingesetzt, aber kam nach duzenden Nachkommastellen immer noch nicht auf ein endgültiges Ergebnis.

Ebenfalls hatte ich die Folge als Funktion graphisch darstellen lassen und von dort aus einen Schnittpunkt mit dem Graphen und einem Lot bei $\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{1000} \end{eqnarray*}$ eingesetzt, aber der X-Wert des Schnittpunktes wurde auf die 15. Nachkommastelle gerundet.

Mache ich etwas grundlegend falsch? Ich würde mich sehr doll auf eine schnelle Antwort freuen. Liebe Grüße!

14.10.2017, 23:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Invicator
Ich persönliche habe zunächst Test-Eingaben eingesetzt, aber kam nach duzenden Nachkommastellen immer noch nicht auf ein endgültiges Ergebnis.

[...]

aber der X-Wert des Schnittpunktes wurde auf die 15. Nachkommastelle gerundet.

Dir ist schon klar, dass es hier bei der Folge $\begin{align*} a_n \end{align*}$ um natürliche Zahlen als mögliche Werte für die Indizes $\begin{align*} n \end{align*}$ geht? Insofern ist diese deine Anmerkung etwas befremdlich.

Es sind die $\begin{align*} n \end{align*}$ mit $\begin{align*} a_n < \frac{1}{1000} \end{align*}$ zu bestimmen, was nach kurzer Umformung auf die quadratische Ungleichung $\begin{align*} n^2+n-1000 > 0 \end{align*}$ führt. Zu diesem Zweck löst man die zugehörige quadratische Gleichung $\begin{align*} x^2+x-1000 = 0 \end{align*}$ , die besitzt jeweils eine negative und eine positive Lösung, letztere sei $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ . Die negative Lösung interessiert uns hier bei deinem Problem mit den Folgenindizes logischerweise nicht; die Lösung deines Problems sind am Ende alle natürlichen Zahlen $\begin{align*} n \end{align*}$ mit $\begin{align*} n>x_0 \end{align*}$ .

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