(Eindim.) diskrete Fourier-Transformation DFT (Bildverarbeitung)

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(Eindim.) diskrete Fourier-Transformation DFT (Bildverarbeitung)
Es wird die Faltung mit dem gewichteten Mittelwert mit Maske betrachtet.

a) Bestimmen Sie für die diskrete eindimensionale Fourier-Transformation des zugehörigen N-periodischen Signals

b) Geben Sie die diskreten Fourierkoeffizienten von g im Fall N = 8 an.

Hallo Forum!

ich habe Schwierigkeiten beim Lösen dieser Aufgabe. Ich bin auch aus meinen Unterlagen sowie Definitionen noch nicht ganz schlau geworden und hoffe jemand kann mir helfen.

Die diskrete Fourier-Transformation DFT ist für definiert durch



Ich habe also versucht mit dieser Definition zu arbeiten und erhalte schließlich



ohne die Nulleinträge in der Summe also:



Nun lautet die Lösung der Aufgabe:



Ich sehe beim besten Willen nicht, wie man auf die Lösung kommt. Ich habe es über die eulersche Identität mittels cos und sin versucht aber ich hab's nicht hinbekommen. Hat jemand eine Idee und kann mir helfen? Bin ich auf dem Holzweg?

Und was hat das Ganze mit der Maske zu tun? Ich weiß, dass die Faltung eines Bildes mit der Filtermaske dem Produkt der Fouriertransformationen entspricht. Aber wie kann ich hier davon gebrauch machen?

Ich bin wirklich planlos.

Vielen Dank!
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