Bestimmung von Folgen von Mengen, die folgende Eigenschaften aufweisen...

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Econ Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung von Folgen von Mengen, die folgende Eigenschaften aufweisen...
Meine Frage:
Im Bild ist die Aufgabe gegeben. Ich verstehe nun nicht, inwiefern sich
von unterscheidet.

Meine Ideen:
Mein erster Gedanke war, dass letztere Vereinigung als limes der ersten Vereinigung beschrieben werden kann. Dann könnte eine Folge von Mengen mit den gewünschten Eigenschaften bspw. wie folgt aussehen:



Allerdings wäre ja diese Menge nur leer für i=unendlich, und da ja unendlich nicht Teil der natürlichen Zahlen ist, ist die gewünschte Eigenschaft nicht gegeben. Ideen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

enthält alle Elemente, die in jeder der (endlich vielen) Mengen enthalten sind.

enthält (wie es in der Aufgabe steht) alle Elemente, die in jeder der (unendlich vielen) Mengen enthalten sind.

Deine Mengen sind für leer, haben also nicht die gewünschten Eigenschaften.
Econ Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber, da müsste dies doch aufs gleiche hinauslaufen? Und inwiefern sind meine definierten Mengen leer?

und dies gilt generell, sodass und meine Überlegung wäre, dass dann
Econ Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh, habe verwechselt. Dementsprechend sind meine Mengen tatsächlich leer. Ist denn die grundsätzliche Überlegung, das eine als den limes aufzufassen korrekt?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, wenn überall statt stehen würde, wäre deine Lösung richtig.

Zitat:
Original von Econ
Ist denn die grundsätzliche Überlegung, das eine als den limes aufzufassen korrekt?

Im Spezialfall, dass du eine monoton fallende Mengenfolge hast (d.h. ), ist das richtig. Dann ist für alle und .

Zitat:
Original von Econ
ja aber, da müsste dies doch aufs gleiche hinauslaufen?

Nein, bei hast du ja eine feste obere Grenze .

[Zur Verdeutlichung nehmen wir mal dein Beispiel mit statt : . Das ist eine monoton fallende Folge, es gilt also für alle .
Der Schnitt aller dieser Mengen ist ; es gibt keine Zahl, die in jeder der Mengen enthalten ist.]
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