Vollständigkeit zeigen |
| 16.10.2017, 10:20 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Vollständigkeit zeigen Zeige: X ist vollständig. Wie gehe ich das nun am besten an? Ich weiß, dass d(m,n) ein metrischer Raum ist. Doch wie kann ich nun damit zeigen, dass mein X vollständig ist? Lg |
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| 16.10.2017, 10:45 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo LuciaSera, um Vollständigkeit des metrischen Raumes X zu zeigen, musst du Cauchyfolgen in X betrachten. (Ist dir klar, warum?) Kannst du irgendein Beispiel einer Cauchyfolge in deinem metrischen Raum - also in den ganzen Zahlen mit der gewöhnlichen Metrik - angeben? Viele Grüße, sibelius84 |
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| 16.10.2017, 11:00 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja, weil ja ein metrischer Raum genau vollständig ist, wenn jede Cauchy-Folge von Elementen des Raumes konvergiert. Wäre eine konstante Folge konvergent? Wenn ja, dann habe ich denke ich den Beweis geschafft. Aber bin mir nicht ganz sicher. |
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| 16.10.2017, 11:06 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hört sich gut an! 
Ja: Konstante Folgen sind in jedem topologischen, also insbesondere auch in jedem metrischen Raum konvergent gegen ihr einziges Folgenglied. Kann man evtl. diese Bedingung noch etwas abschwächen...?Du musst nur eben wirklich zeigen, dass jede Cauchyfolge aus deinem metrischen Raum diese (abgeschwächte) Bedingung erfüllt. Dann hast du Konvergenz, also insgesamt: Vollständigkeit. Übrigens, gehört zwar nicht direkt zur Aufgabe, aber mal so nebenbei: Hast du eine ungefähre Vorstellung, wie die offenen Mengen deines metrischen Raumes aussehen, bzw. welche seiner Teilmengen offen sind? Grüße sibelius84 |
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